1階線形常微分方程式 のバックアップ(No.2) |
、1階線形常微分方程式は上記の形をしている。 解の公式は次の積分式で与えられる:
暗記さえできれば、定数係数で1階の線形な常微分方程式に関しては、必ず解けることになる。 これらに対し、凌宮数学では、2階ないし階の線形常微分方程式に繋がるような、 考え方積分で解く一般に、ある関数の常微分が分かれば、不定積分で解けることが分かっている*3。
の場合は、左辺をに纏めらると、積分で解ける。 1つの微分に纏める高校で習う微分公式から探せばすぐ分かるが、左辺と右辺で「」の数が異なる公式は積の微分しかない*5: しかし、をと比較しても、 積分因子を掛ける上記の試算は、の縛りが厳しすぎるため、となってしまい、を満たす余地を無くしている。 一般に、積分するために掛ける関数を積分因子と呼ぶ。 をと比較すると、なるを探せば良いことが分かる。
今、はを満たせば良いので、以降では簡単そうなを選ぶ。 略解例以上で解く筋道が通る:
この筋道を逆から書けば「解答」となる:
線形微分演算子 【編集中】原方程式は、と括れば、 以下のように1階線形常微分演算子を定義すると、演算と演算対象に明示的に分離できる。
そうすると、上記解答は次のように見える:
上記の解き方では、とでは単純な微分・積分の関係にならないため、
まとめ・つなぎ |