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小学校では、算数を1から教え、自然数、ゼロの順に続く。
しかし、大学ではベクトルを1から教えられることもなければ、自然数もない。
いきなり、2次元の実数から苦戦する羽目になる。
凌宮数学のベクトルは1次元の自然数から始まる。
それは誰もが小学校で学んでいるものだ。
やさしく始めよう。
1次元自然数
※「」はリンゴである。
「図1のリンゴを数えて」と言われて「1、2、3、4」と数えば、それは自然数を数えていることになる。
「1、2、3、4」は自然数と呼ばれる数字だからそうなる。
つまり、敢えて言うなら、数えているのは「(リンゴの)数」だった。
1次元自然数ベクトル
同じく、「図1のリンゴを数えて」と言われて「1個、2個、3個、4個」とも数えられる。
この場合、数えているのは「(リンゴの)個数」になる。
ここで登場する「1個、2個、3個、4個」は、もはや自然数でもなければ数字でもない。
「個」は単位の一種、「1個」というのは量になる。
同じく、「図1のリンゴを数えて」と言われて「1列」で終わらせることもできる。
数え方を変えただけである。
この場合、数えているのは「(リンゴの)列数」になる。
このように、リンゴには「個」や「列」など色んな数え方があり、数え方を表すのが単位である。
重要なのは、「4個」も「1列」も図1の状態を表せるが、「4」と「1」だけでは言葉足らずになる。
言い換えると、図1を表すには、数では役不足であり、数と単位を組み合わせた「量」を使う必要がある。
凌宮数学では、量の線形性を重視し、これをベクトルの一種として扱う。
そして、これまでに登場した1つの自然数と1つの単位からなる量を「1次元自然数ベクトル」と呼ぶ。
量の場合、ベクトルの用語を使うと、次のような読み替えができる:
表1:量とベクトルの対応関係 |
---|
ベクトル用語 | 量用語 | 例1 | 例2 |
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ベクトル | 量 | 4個 | 1列 |
基底 | 単位 | 個 | 列 |
成分 | 数 | 4 | 1 |
高が1次元の自然数ベクトルでも立派なベクトル。
ベクトルである以上、ベクトルを持つ性質は全て満たしている。
このため、このやさしいベクトルだけも大抵は説明できる。
ベクトル加法
「リンゴは図2と図3が合わせて何個?」を知りたい場合、
まず図2から数えて、「1個、2個」、続けて図3から「3個、4個、5個」と答え「5個」を得る。
次に図2だけを数えて「1個、2個」と「2個」、図3だけを数えて「1個、2個、3個」と「3個」を得る。
これらを合わせて「2個と3個を合わせて5個」と習う。
これを普通の数式で書くと数だけになる:
これは自然数の加法。
数だけでは言葉足らずということを考えると、次の数式に辿りつく:
これが1次元自然数ベクトルの加法である。