１次元自然数ベクトル のバックアップ(No.6)

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執筆中

論理の組み立て方に結構問題あり！

小学校では、算数を１から教え、自然数、ゼロの順に続く。
しかし、大学ではベクトルを１から教えられることもなければ、自然数もない。
いきなり、２次元の実数から苦戦する羽目になる。

凌宮数学のベクトルは１次元の自然数から始まる。
それは誰もが小学校で学んでいるものだ。
やさしく始めよう。

１次元自然数

図１

※「」はリンゴである。

「図１のリンゴを数えて」と言われて「１、２、３、４」と数えば、それは自然数を数えていることになる。
「１、２、３、４」は自然数と呼ばれる数字だからそうなる。
つまり、敢えて言うなら、数えているのは「（リンゴの）数」だった。

１次元自然数ベクトル

同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１個、２個、３個、４個」とも数えられる。
この場合、数えているのは「（リンゴの）個数」になる。
ここで登場する「１個、２個、３個、４個」は、もはや自然数でもなければ数字でもない。
「個」は単位の一種、「１個」というのは量になる。

同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１列」で終わらせることもできる。
数え方を変えただけである。
この場合、数えているのは「（リンゴの）列数」になる。
このように、リンゴには「個」や「列」など色んな数え方があり、数え方を表すのが単位である。

重要なのは、「４個」も「１列」も図１の状態を表せるが、「４」と「１」だけでは言葉足らずになる。
言い換えると、図１を表すには、数では役不足であり、数と単位を組み合わせた「量」を使う必要がある。

凌宮数学では、量の線形性を重視し、これをベクトルの一種として扱う。
そして、これまでに登場した１つの自然数と１つの単位からなる量を「１次元自然数ベクトル」と呼ぶ。
量の場合、ベクトルの用語を使うと、次のような読み替えができる：

高が１次元の自然数ベクトルでも立派なベクトル。
ベクトルである以上、ベクトルを持つ性質は全て満たしている。
このため、このやさしいベクトルだけも大抵は説明できる。

ベクトル加法（足し算）

図２	図３

「リンゴは図２と図３が合わせて何個？」を知りたい場合、
まず図２から数えて、「１個、２個」、続けて図３から「３個、４個、５個」と答え「５個」を得る。
次に図２だけを数えて「１個、２個」と「２個」、図３だけを数えて「１個、２個、３個」と「３個」を得る。
これらを合わせて「２個と３個を合わせて５個」と習う。

これを普通の数式で書くと数だけになる：

これは自然数の加法。

数だけでは言葉足らずということを考えると、次の数式に辿りつく：

これが１次元自然数ベクトルの加法である。

倍積（スカラー倍、テンソル積）

図４

図４について、リンゴの個数を数えば、「１個、２個、３個、４個、５個、６個」と「６個」になる。
次に、それぞれの皿にあるリンゴの個数を数えると、次のようになる。

先ほどの加法を使えば、次のようにリンゴの個数が求まる。

ここで重要なのは「すべての皿について、それぞれの皿にあるリンゴの個数は同じ」である。
このような状態のことを、「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」と言う。
凌宮数学では「２個／１枚」と書く。「／」は「あたり」を表す。
さらに、これを「２個／枚」に略す。

今度は皿の枚数を数えると「１枚、２枚、３枚」と「３枚」が得られる。
そこで、「６個」と「２個／枚」と「３枚」の関係を次のように書く。

基底変換

図４の関係についての、もう一つの考え方：
「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」を「１枚＝２個」とも書き、「枚＝２個」と略す。
発想としは、「１枚（の皿）」も「２個（のリンゴ）」も「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」の状態を表すと考える。

一方で、皿の枚数を数えると「３枚」となるので、次のような計算が成り立つ：

このように、基底変換でも計算として掛算が登場するが、倍積とは発想が全く異なる。
同じ関係は大学まで続き、例えば置換積分と部分積分など大学生でも混乱するパターンなどに繋がる。