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* 執筆中 [#rdde1994]
論理の組み立て方に結構問題あり！
* [#sbbef9d3]
;,小学校では、算数を１から教え、自然数、ゼロの順に続く。
;,しかし、大学ではベクトルを１から教えられることもなければ、自然数もない。
;,いきなり、２次元の実数から苦戦する羽目になる。
;,凌宮数学のベクトルは１次元の自然数から始まる。
;,それは誰もが小学校で学んでいるものだ。
;,やさしく始めよう。
* １次元自然数 [#y68be61b]
|*図１|
| &ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%); |t=:
※「&ref(./Apple.png,5%);」はリンゴである。
※「&ref(./Apple.png,8%);」はリンゴである。
;,「図１のリンゴを数えて」と言われて「１、２、３、４」と数えば、それは自然数を数えていることになる。
;,「１、２、３、４」は自然数と呼ばれる数字だからそうなる。
;,つまり、敢えて言うなら、数えているのは「（リンゴの）数」だった。
;,図１について「リンゴを数えて」と言われば、「１、２、３、４」と数えるのが正解。
;,１、２、３、４は自然数と呼ばれる数字だから、数えているのは「（リンゴの）数」になる。
* １次元自然量 [#a507fb47]
|*図２|
| &ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%); |
今度は図２について同じように「リンゴを数えて」と言うと、
大抵は「１、２、３、４」
* １次元自然数ベクトル [#k732c257]
;,同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１個、２個、３個、４個」とも数えられる。
;,この場合、数えているのは「（リンゴの）個数」になる。
;,ここで登場する「１個、２個、３個、４個」は、もはや自然数でもなければ数字でもない。
;,「個」は単位の一種、「１個」というのは量になる。
;,同じく、「図１のリンゴを数えて」と言われて「１列」で終わらせることもできる。
;,数え方を変えただけである。
;,この場合、数えているのは「（リンゴの）列数」になる。
;,このように、リンゴには「個」や「列」など色んな数え方があり、数え方を表すのが単位である。
;,重要なのは、「４個」も「１列」も図１の状態を表せるが、「４」と「１」だけでは言葉足らずになる。
;,言い換えると、図１を表すには、数では役不足であり、数と単位を組み合わせた「量」を使う必要がある。
;,凌宮数学では、量の線形性を重視し、これをベクトルの一種として扱う。
;,そして、これまでに登場した１つの自然数と１つの単位からなる量を「１次元自然数ベクトル」と呼ぶ。
;,量の場合、ベクトルの用語を使うと、次のような読み替えができる：
|*表１：量とベクトルの対応関係|<|<|<|
|*ベクトル用語|*量用語|*例１|*例２|t=:
| ベクトル | 量 | ４個| １列|
| 基底 | 単位 | 個| 列|
| 成分 | 数 | ４ | １ |
;,高が１次元の自然数ベクトルでも立派なベクトル。
;,ベクトルである以上、ベクトルを持つ性質は全て満たしている。
;,このため、このやさしいベクトルだけも大抵は説明できる。
* ベクトル加法（足し算） [#tca6aac6]
|*図２|*図３|
| &ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%); |*
| &ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%);&ref(./Apple.png,10%); |t=:
;,「リンゴは図２と図３が合わせて何個？」を知りたい場合、
;,まず図２から数えて、「１個、２個」、続けて図３から「３個、４個、５個」と答え「５個」を得る。
;,次に図２だけを数えて「１個、２個」と「２個」、図３だけを数えて「１個、２個、３個」と「３個」を得る。
;,これらを合わせて「２個と３個を合わせて５個」と習う。
;,これを普通の数式で書くと数だけになる：
#ceq(e)
２＋３＝５
#ceq(end)
;,これは自然数の加法。
;,数だけでは言葉足らずということを考えると、次の数式に辿りつく：
#ceq(e)
２個＋３個＝５個
#ceq(end)
;,これが１次元自然数ベクトルの加法である。
* 倍積（スカラー倍、テンソル積） [#pd586772]
|*図４|
| &ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%);&ref(./2ApplePlate.png,10%); |
;,図４について、リンゴの個数を数えば、「１個、２個、３個、４個、５個、６個」と「６個」になる。
;,次に、それぞれの皿にあるリンゴの個数を数えると、次のようになる。
#ceq(e)
;, １枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
;, ２枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
;, ３枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。
#ceq(end)
先ほどの加法を使えば、次のようにリンゴの個数が求まる。
#ceq(e)
２個＋２個＋２個＝６個
#ceq(end)
;,ここで重要なのは「すべての皿について、それぞれの皿にあるリンゴの個数は同じ」である。
;,このような状態のことを、「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」と言う。
;,凌宮数学では「２個／１枚」と書く。「／」は「あたり」を表す。
;,さらに、これを「２個／枚」に略す。
;,今度は皿の枚数を数えると「１枚、２枚、３枚」と「３枚」が得られる。
;,そこで、「６個」と「２個／枚」と「３枚」の関係を次のように書く。
#ceq(e)
２個／枚×３枚＝６個
#ceq(end)
* 基底変換 [#d07e41aa]
;,図４の関係についての、もう一つの考え方：
;,「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」を「１枚＝２個」とも書き、「枚＝２個」と略す。
;,発想としは、「１枚（の皿）」も「２個（のリンゴ）」も「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」の状態を表すと考える。
;,一方で、皿の枚数を数えると「３枚」となるので、次のような計算が成り立つ：
#ceq(e)
３枚＝３×１枚＝３×２個＝６個
#ceq(end)
;,このように、基底変換でも計算として掛算が登場するが、倍積とは発想が全く異なる。
;,同じ関係は大学まで続き、例えば置換積分と部分積分など大学生でも混乱するパターンなどに繋がる。
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
2ApplePlate.png
Apple.png
