１次元自然数ベクトル のバックアップの現在との差分(No.7)

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執筆中

論理の組み立て方に結構問題あり！

小学校では、算数を１から教え、自然数、ゼロの順に続く。
しかし、大学ではベクトルを１から教えられることもなければ、自然数もない。
いきなり、２次元の実数から苦戦する羽目になる。

凌宮数学のベクトルは１次元の自然数から始まる。
それは誰もが小学校で学んでいるものだ。
やさしく始めよう。

１次元自然数

図１

※「」はリンゴである。

図１について「リンゴを数えて」と言われば、「１、２、３、４」と数えるのが正解。
１、２、３、４は自然数と呼ばれる数字だから、数えているのは「（リンゴの）数」になる。

• 靴４足を図に出す
• １、２、３、４ ⇒１足、２足、３足、４足 の数え方を示す
• １、２ ⇒ １組、２組 の数え方を示す。
• 数だけでは混乱する
• 数と単位の組み合わせでハッキリ表す必要がある
• （単位が１種類しかない考えられない場合（図１）は省略可能と考えるべし）
• 数と単位の組み合わせが量と呼ばれるもの

• １次元自然量はベクトルの条件を満たす ⇒ ベクトル扱いができる
• これが学生が一番最初に取り扱うベクトルとなる
• １次元で自然数であるため、２次元で実数の幾何ベクトルよりは具体的で捕らえやすい
• 数と単位は乗算関係
  • 対数軸や曲線座標系の場合を要考慮

• 靴の例に「２組＝４足」の状態から、「２」と「４」を抜きとる記号
• 状態を「全部」と定義
  • 「図ｎ」とか具体的なのが良いが、余計な数字が含まれて紛らわしいので却下
• 「全部／組＝２組／組＝２」、「全部／足＝４足／足＝４」のように成分出しを定義

• 靴の例に「１組＝２足」を単位変換式と定義
  • 単位変換式は左右の単位が異なる等式の姿をしている
  • 単位変換式はベクトルの基底変換を記述する式と同じ姿している
• 全ての問題は、基底の定義と基底変換式（＝基底の関係）に分解できるはず（←要確認）
• ３組＝３×１組＝３×２組＝６組
  • 「組」は「１組」と同義、「３組」は「３×１組」と同義

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「リンゴは図２と図３が合わせて何個？」を知りたい場合、
まず図２から数えて、「１個、２個」、続けて図３から「３個、４個、５個」と答え「５個」を得る。
次に図２だけを数えて「１個、２個」と「２個」、図３だけを数えて「１個、２個、３個」と「３個」を得る。
これらを合わせて「２個と３個を合わせて５個」と習う。

これを普通の数式で書くと数だけになる：

２＋３＝５

これは自然数の加法。

数だけでは言葉足らずということを考えると、次の数式に辿りつく：

２個＋３個＝５個

これが１次元自然数ベクトルの加法である。

倍積（スカラー倍、テンソル積）

図４

図４について、リンゴの個数を数えば、「１個、２個、３個、４個、５個、６個」と「６個」になる。
次に、それぞれの皿にあるリンゴの個数を数えると、次のようになる。

１枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。 　　２枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。 　　３枚目の皿について、「１個、２個」で「２個」になる。

先ほどの加法を使えば、次のようにリンゴの個数が求まる。

２個＋２個＋２個＝６個

ここで重要なのは「すべての皿について、それぞれの皿にあるリンゴの個数は同じ」である。
このような状態のことを、「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」と言う。
凌宮数学では「２個／１枚」と書く。「／」は「あたり」を表す。
さらに、これを「２個／枚」に略す。

今度は皿の枚数を数えると「１枚、２枚、３枚」と「３枚」が得られる。
そこで、「６個」と「２個／枚」と「３枚」の関係を次のように書く。

２個／枚×３枚＝６個

基底変換

図４の関係についての、もう一つの考え方：
「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」を「１枚＝２個」とも書き、「枚＝２個」と略す。
発想としは、「１枚（の皿）」も「２個（のリンゴ）」も「１枚の皿あたり２個のリンゴがある」の状態を表すと考える。

一方で、皿の枚数を数えると「３枚」となるので、次のような計算が成り立つ：

３枚＝３×１枚＝３×２個＝６個

このように、基底変換でも計算として掛算が登場するが、倍積とは発想が全く異なる。
同じ関係は大学まで続き、例えば置換積分と部分積分など大学生でも混乱するパターンなどに繋がる。