概要 EditToHeaderToFooter

凌宮数学では、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$を$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$と読み替えて約分している。
しかし約分とは、$$ \ffd{\cancel{\partial x}}{\cancel{\partial y}} $$$$ \ffd{\cancel{\partial y}}{\cancel{\partial z}} $$$$ \ffd{\cancel{\partial z}}{\cancel{\partial x}} $$$$ = $$$$ 1 $$になる操作である。
このため、約分しているのは飽くまでも読み替えた後の係数であって、読み替える前の微分とは言えない。

ところが、もしも$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ \equiv $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ppd{x}{y} $$と定義されたら*1、
オイラーの連鎖式は$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}z} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}z}{{\mathfrak d}x} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$となり、
負の印を祓って、$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}}{\mathstrut\cancel{{\mathfrak d}y}} $$$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}y}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}} $$$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}} $$$$ = $$$$ 1 $$と書けるようになる。

*1 $$ \mathfrak d $$はドイツ文字の「d」。

極限による負の微分係数の形式的定義 EditToHeaderToFooter

一般に、偏微分の定義と言えば、２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$についての：

$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x + \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$

すると、上記の$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ppd{x}{y} $$を偏微分の定義式に代入すると、負の微分係数の定義式が得られる：

$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x,y) - f(x + \epsilon, y)}{\epsilon} $$

もしくは、$$ f(x,y) $$基準に拘るなら、次のように改めても良い：

$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x \iro[ak]- \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$

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