概要 EditToHeaderToFooter

凌宮数学では、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$偏微分を読み替えて約分している
しかし約分とは、$$ \ffd{\cancel{\partial x}}{\cancel{\partial y}} $$$$ \ffd{\cancel{\partial y}}{\cancel{\partial z}} $$$$ \ffd{\cancel{\partial z}}{\cancel{\partial x}} $$$$ = $$$$ 1 $$になる操作である。
このため、約分しているのは飽くまでも読み替えた後の係数であって、読み替える前の微分とは言えない。

ところが、もしも$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ \equiv $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ppd{x}{y} $$と定義されたら*1
オイラーの連鎖式は$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}z} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}z}{{\mathfrak d}x} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$となり、
負の印を祓って、$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}}{\mathstrut\cancel{{\mathfrak d}y}} $$$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}y}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}} $$$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}} $$$$ = $$$$ 1 $$と書けるようになる。

*1 $$ \mathfrak d $$はドイツ文字の「d」、発音は「デー」。

極限による負の偏微分の形式的定義 EditToHeaderToFooter

一般に、偏微分の定義と言えば、2変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$についての:

$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x + \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$

すると、上記の$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ppd{x}{y} $$を偏微分の定義式に代入すると、負の偏微分の定義式が得られる:

$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x,y) - f(x + \epsilon, y)}{\epsilon} $$

もしくは、$$ f(x,y) $$基準に拘るなら、細かいことを気にせず次のように改めれば良い:

$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $$$$ = $$$$ \lim_{\epsilon \to 0} $$$$ \ffd{f(x \iro[ak]- \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$

偏微分の基本性質 EditToHeaderToFooter

負の微分係数は、正の偏微分に負号を付けただけなため、微分の性質は全て保存される。
ただし、$$ f $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ g $$$$ = $$$$ g(x,y) $$$$ c $$$$ = $$$$ c\overline{(x)} $$*2について考える。

定数倍 

$$ \ppd{(cf)}{x} $$$$ = $$$$ c $$$$ \ppd{f}{x} $$

乗算 

$$ \ppd{(f \cdot g)}{x} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \cdot $$$$ g $$$$ + $$$$ f $$$$ \cdot $$$$ \ppd{g}{x} $$

$$ \ffd{{\mathfrak d}(cf)}{{\mathfrak d}x} $$$$ = $$$$ c $$$$ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $$

$$ \ffd{{\mathfrak d}(f \cdot g)}{{\mathfrak d}x} $$$$ = $$$$ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $$$$ \cdot $$$$ g $$$$ + $$$$ f $$$$ \cdot $$$$ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} $$

加減算

$$ \ppd{(f \pm g)}{x} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ \pm $$$$ $$$$ \ppd{g}{x} $$

除算 

$$ \ppd{(f\,/g)}{x} $$$$ = $$$$ \ppd{f}{x} \!\bigg/\! g $$$$ - $$$$ f $$$$ \cdot \ppd{g}{x} \!\bigg/\! g^2 $$

$$ \ffd{{\mathfrak d}(f \pm g)}{{\mathfrak d}x} $$$$ = $$$$ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $$$$ \pm $$$$ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} $$

$$ \ffd{{\mathfrak d}(f\,/g)}{{\mathfrak d}x} $$$$ = $$$$ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g $$$$ - $$$$ f $$$$ \cdot $$$$ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g^2 $$

*2 凌宮数学の定数表記。「$$ c $$$$ x $$の定数」と読み、$$ \ppd{c}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$を意味する。

定積分との関係 EditToHeaderToFooter

1変数の陽関数(=2変数の陰関数)の場合、$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$について、
微分$$ \ddd{y}{x} $$に対応する負の微分は$$ \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}x} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ddd{y}{x} $$になる。

すると、aからbまでの不定積分は以下のようになる。

$$ \int_a^b $$$$ \ddd{y}{x} $$$$ dx $$

$$ = $$$$ \iro[ak]- \!\!\! \int_a^b $$$$ \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}x} $$$$ dx $$

$$ = $$$$ \int_b^a $$$$ \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}x} $$$$ dx $$

全微分との関係 EditToHeaderToFooter

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

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Last-modified: 2017.0330 (木) 1834.5000 (28d)