オイラーの連鎖式

凌宮読解術： ⇒

任意の２変数関数について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1。

問題は、などを形式的に約分してと書きたいどころ、期待を裏切るである。
一般的な証明*2*3は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
が約分できる結果だけ見てをそのまま消すから、計算が上手く行かない。
が約分できる仕組みを見てを正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：

、、は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。

*1 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

陰微分と陽微分

微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
例えば、関数は１次式と近似できるが、
変数との係数とが微分係数で、それぞれがの偏微分、となる。

一方で、からやにつて解いた一次式からも微分係数が得られる。
例えば、について解いた式からは、、が得られる。
同様に、について解いた式からは、、が得られる。

表１： の１次近似と微分係数
１次近似	微分係数			値
	係数表記	関数表記	変数表記

ここで重要なのは、移項で「」が発生することである。
その移項は独立変数について解くためで、移項で「」付くのは別の独立変数の項に限る。
このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「」を正しく書ける。

そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。

• 陰微分： 関数を陰関数と見なした独立変数と独立変数に関する微分
• 陽微分： 関数を陽関数と見なした従属変数と独立変数に関する微分

すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の陰陽で「」の有無を判定できる。

• 陰微分： 「」有り
• 陽微分： 「」無し

参考：への適応

高校で習うは、陽関数と陰関数の２通りの考え方がある。

陽関数で考える場合、もも陽微分となり、陽陽で「」が現れず、そのまま約分可能となる。

陰関数で考える場合、もも陰微分となり、陰陰で「」は２つ現れては打ち消される。

どちらの結果もと自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。

本題：への適応

大学で習うは、陽関数、、の３通りと、
陰関数を合わせて計４通りの考え方がある。

陽関数で考える場合、
が陰微分、とが陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「」が残る。

陽関数やで考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。

陰関数で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。

陰関数では全ての変数が独立変数であるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。
したがって、陰関数で考え、全ての微分を一律「」付きの陰微分として扱うのが楽である。

表２： の１次近似と微分係数（参考）
１次近似		微分係数			値
		記号表記	関数表記	変数表記
				*4

*4 陰関数では関数値と等値関係にある変数の表記は無い

まとめ・つなぎ

オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。