凌宮読解術:$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の2変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1

オイラーの連鎖式: $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$

問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
一般的な証明*2*3は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$をそのまま消すから上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$の約分も負号も問題なく処理できる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する:

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$

$$ k_x $$$$ k_y $$$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。

*1 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 参考:熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考:EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

陰微分陽微分 EditToHeaderToFooter

微分には「関数を1次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
例えば、関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$は1次式$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$と近似できるが、
変数$$ x $$$$ y $$の係数$$ a_x $$$$ a_y $$が微分係数で、それぞれの変数による$$ z $$の微分$$ \ppd{z}{x} $$$$ \ppd{z}{y} $$となる。

一方で、$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$から$$ x $$$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。

表1: $$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$の1次近似と微分係数
1次近似微分係数
係数表記関数表記変数表記
$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$$$ a_x , a_y $$$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{a_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{a_y}{ 1 } $$
$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$
$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$

ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]- $$」が発生することである。
その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]- $$」付くのは別の独立変数の項に限る。
このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。

そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。

  • 陰微分: 関数を陰関数と見なした独立変数独立変数に関する微分
  • 陽微分: 関数を陽関数と見なした従属変数独立変数に関する微分

すると、関数の1次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分ので「$$ \iro[ak]- $$」のを判定できる。

  • 陰微分: 「$$ \iro[ak]- $$有り
  • 陽微分: 「$$ \iro[kr]- $$無し

参考:$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$への適応 EditToHeaderToFooter

高校で習う$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$は、陽関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$と陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$の2通りの考え方がある。

陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。

$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$  $$ \Rightarrow $$  $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ \ffd{1}{a_x} $$$$ = $$$$ 1 $$

陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は2つ現れては打ち消される。

$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$  $$ \Rightarrow $$  $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ = $$$$ 1 $$

どちらの結果も$$ dx $$$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。

本題:$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$への適応 EditToHeaderToFooter

大学で習う$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$は、陽関数$$ x $$$$ = $$$$ f(y,z) $$$$ y $$$$ = $$$$ g(z,x) $$$$ z $$$$ = $$$$ h(x,y) $$の3通りと、
陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$を合わせて計4通りの考え方がある。

陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$で考える場合、
$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。

$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ \ffd{1}{a_y} $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陽関数$$ x = $$$$ g(y,z) $$$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、1陰2陽の関係は変わらない。

$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$$$ \approx $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{b_y}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $$$$ \ffd{1}{b_z} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$$$ \approx $$$$ c_0 $$$$ + $$$$ c_z $$$$ z $$$$ + $$$$ c_x $$$$ x $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{c_x} $$$$ \ffd{c_z}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。

$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$

 $$ \Rightarrow $$ 

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数では全ての変数が独立変数であるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。
したがって、陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽である。

表2: $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$の1次近似と微分係数(参考)
1次近似微分係数
記号表記関数表記変数表記
$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{z} $$*4$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$
 $$ x $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_x} $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_x} $$$$ y $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$
 $$ y $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_y} $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_y} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$
 $$ z $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_z} $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_z} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_z} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$
*4 陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。

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Last-modified: 2015.0327 (金) 0443.3800 (731d)