凌宮表記術:$$ C $$$$ x $$の定数:$$ C \overline{(x)} $$ EditToHeaderToFooter

$$ f $$$$ x $$の関数のとき$$ f(x) $$と書くが、$$ f $$$$ x $$の関数でない場合に何も書けないのが世の不思議。
「関係がない」だからって「書くまでもない」と思ってはいけない。
「関数でない=定数である」も立派な関係である。

そこで、凌宮数学では「$$ C $$$$ x $$の定数」を「$$ C \overline{(x)} $$」と表記する。
$$ F $$$$ x $$の関数であることを表す$$ F(x) $$に、否定の意味で使われるオーバーラインを付けた表記となっている。

応用:積分定数 EditToHeaderToFooter

積分定数は名前通り、定数である。
不定積分の計算では必ず現れ、「ただし」と書くお約束である。

$$ \int f(x) \,dx $$$$ = $$$$ F(x) $$$$ + $$$$ C $$ (ただし、$$ C $$ は積分定数)

凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。

$$ \int f(x) \,dx $$$$ = $$$$ F(x) $$$$ + $$$$ C \overline{(x)} $$

ここで、積分と微分の関係から、$$ C \overline{(x)} $$$$ \ddd{C}{x} $$$$ = $$$$ 0 $$を意味すると理解しても良い。

本題:多変数関数の積分定数 EditToHeaderToFooter

問題は多変数関数の場合。

$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$

理系の大学生はこれを見せられる上、「$$ g(y) $$は任意関数」や「$$ g(y) $$$$ y $$だけの関数」のような但し書きを教わる。
そして「1変数のときと同じよね」と言われる。

この謎の関数$$ g(y) $$ が積分定数$$ C $$に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無茶な話。

1変数関数と多変数関数で、一体何が同じで、何が異なるのかは、こんな表で考えれば良い:

表1:$$ \int f(x) \,dx = F(x) + C $$$$ C $$と変数の関係
$$ C $$$$ x $$の定数$$ C $$$$ x $$の関数
 ×
 
表2:$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y) $$$$ g $$と変数の関係
$$ \spc{C}{g} $$$$ x $$の定数$$ \spc{C}{g} $$$$ x $$の関数
$$ g $$$$ y $$の定数×
$$ g $$$$ y $$の関数×

つまり、$$ x $$で積分するときに重要なのは、$$ x $$の定数であることであって、$$ y $$の関数かどうかではない*1
この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる:

1変数:$$ \int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)} $$

2変数:$$ \int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)} $$

被積分関数$$ f $$が1変数の$$ f(x) $$から2変数の$$ f(x,y) $$に変わっていることを除けば、少なくとも見た目は同じである。

さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる:

$$ \int f\,dx = F + C \overline{(x)} $$ ── $$ x $$で積分すれば、$$ x $$の積分定数が現る。

これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。

*1 厳密には「$$ y $$の関数」の特殊例として「$$ y $$の定数」が含まれる。そう言う意味では、そもそも「定数である」と「定数でない」で議論すべき。
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Last-modified: 2015.0928 (月) 1811.3700 (755d)