積分定数 < 凌宮数学 (LimgMath)

凌宮表記術：はの定数： $C \overline{(x)}$

$$ f $$ が $$ x $$ の関数のとき $$ f(x) $$ と書くが、 $$ f $$ が $$ x $$ の関数でない場合に何も書けないのが世の不思議。
「関係がない」だからって「書くまでもない」と思ってはいけない。
「関数でない＝定数である」も立派な関係である。

そこで、凌宮数学では「 $$ C $$ は $$ x $$ の定数」を「 $C \overline{(x)}$ 」と表記する。
$$ F $$ が $$ x $$ の関数であることを表す $$ F(x) $$ に、否定の意味で使われるオーバーラインを付けた表記となっている。

積分定数は名前通り、定数である。
不定積分の計算では必ず現れ、「ただし」と書くお約束である。

$\int f(x) \,dx$ $$ = $$ $$ F(x) $$ $$ + $$ $$ C $$ （ただし、 $$ C $$ は積分定数）

凌宮数式の定数表記を使うと、とりあえず次のように書ける。

$\int f(x) \,dx$ $$ = $$ $$ F(x) $$ $$ + $$ $C \overline{(x)}$

ここで、積分と微分の関係から、 $C \overline{(x)}$ は $\ddd{C}{x}$ $$ = $$ $$ 0 $$ を意味すると理解しても良い。

問題は多変数関数の場合。

$\int f(x,y) \,dx = F(x,y) + g(y)$

理系の大学生はこれを見せられる上、「 $$ g(y) $$ は任意関数」や「は $$ y $$ だけの関数」のような但し書きを教わる。
そして「１変数のときと同じよね」と言われる。

この謎の関数 $$ g(y) $$ が積分定数 $$ C $$ に対応するのは位置で勘ぐれなくもないが、
これで何がどう同じなのかまで分かれというのは無茶な話。

１変数関数と多変数関数で、一体何が同じで、何が異なるのかは、こんな表で考えれば良い：

つまり、 $$ x $$ で積分するときに重要なのは、 $$ x $$ の定数であることであって、 $$ y $$ の関数かどうかではない*1
この事実を素直に定数表記で表現すると次のようになる：

１変数： $\int f(x) \,dx \phantom{,y} = F(x) \phantom{,y} + C \overline{(x)}$

２変数： $\int f(x,y) \,dx = F(x,y) + C \overline{(x)}$

被積分関数 $$ f $$ が１変数の $$ f(x) $$ から２変数の $$ f(x,y) $$ に変わっていることを除けば、少なくとも見た目は同じである。

さらに同じ部分を抜き出すと、より洗練された記述が得られる：

$\int f\,dx = F + C \overline{(x)}$ ── $$ x $$ で積分すれば、 $$ x $$ の積分定数が現る。

これこそ何変数でも成り立つ不定積分のあるべき姿。

*1 厳密には「

の関数」の特殊例として「 $$ y $$

の定数」が含まれる。そう言う意味では、そもそも「定数である」と「定数でない」で議論すべき。