もしも微分が陰関数基準で表記されたら のバックアップ差分(No.3)

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/もし微分が陰関数を基準で表記されたら【編集中】
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* 概要 [#m3ec6e81]

;,凌宮数学では、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$を$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$と読み替えて約分している。
;,凌宮数学では、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$を$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$と[[偏微分を読み替えて約分している>オイラーの連鎖式]]。
;,しかし約分とは、$$ \ffd{\cancel{\partial x}}{\cancel{\partial y}} $ \ffd{\cancel{\partial y}}{\cancel{\partial z}} $ \ffd{\cancel{\partial z}}{\cancel{\partial x}} $ = $ 1 $$になる操作である。
;,このため、約分しているのは飽くまでも読み替えた後の係数であって、読み替える前の微分とは言えない。

;,ところが、もしも$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $ \equiv $ \iro[ak]- $ \ppd{x}{y} $$と定義されたら(($$ \mathfrak d $$はドイツ文字の「d」。))、
;,オイラーの連鎖式は$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}y}{{\mathfrak d}z} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{{\mathfrak d}z}{{\mathfrak d}x} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$となり、
;,負の印を祓って、$$ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}}{\mathstrut\cancel{{\mathfrak d}y}} $ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}y}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}} $ \ffd{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}z}}{\cancel{\mathstrut{\mathfrak d}x}} $ = $ 1 $$と書けるようになる。

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* 極限による負の微分係数の形式的定義 [#qab1094c]
* 極限による負の偏微分の形式的定義 [#qab1094c]

;,一般に、偏微分の定義と言えば、２変数関数$$ z $ = $ f(x,y) $$についての：
#ceq(e)
  $$ \ppd{z}{x} $ = $ \lim_{\epsilon \to 0} $ \ffd{f(x + \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$
#ceq(d)

;,すると、上記の$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $ = $ \iro[ak]- $ \ppd{x}{y} $$を偏微分の定義式に代入すると、負の微分係数の定義式が得られる：
;,すると、上記の$$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $ = $ \iro[ak]- $ \ppd{x}{y} $$を偏微分の定義式に代入すると、負の偏微分の定義式が得られる：
#ceq(e)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $ = $ \lim_{\epsilon \to 0} $ \ffd{f(x,y) - f(x + \epsilon, y)}{\epsilon} $$
#ceq(d)
;,もしくは、$$ f(x,y) $$基準に拘るなら、次のように改めても良い：
;,もしくは、$$ f(x,y) $$基準に拘るなら、細かいことを気にせず次のように改めれば良い：
#ceq(e)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}x}{{\mathfrak d}y} $ = $ \lim_{\epsilon \to 0} $ \ffd{f(x \iro[ak]- \epsilon, y) - f(x,y)}{\epsilon} $$
#ceq(d)

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* [#jee66c00]
* 偏微分の基本性質 [#oe360ed7]

;,負の微分係数は、正の偏微分に負号を付けただけなため、微分の性質は全て保存される。
;,ただし、$$ f $ = $ f(x,y) $$、$$ g $ = $ g(x,y) $$、$$ k $ = $ k\overline{(x)} $$((凌宮数学の[[定数表記]]。「$$ k $$は$$ x $$の定数」と読み、$$ \ddd{k}{x} $ = $ 0 $$を意味する。))について考える。
#ceq(e)
定数倍
#ceq(q)
  $$ \ppd{(cf)}{x} $ = $ c $ \ppd{f}{x} $$
#ceq(q)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}(cf)}{{\mathfrak d}x} $ = $ c $ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $$
#ceq(e)
加減算
#ceq(q)
  $$ \ppd{(f \pm g)}{x} $ = $ \ppd{f}{x} $ \pm $ $ \ppd{g}{x} $$
#ceq(q)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}(f \pm g)}{{\mathfrak d}x} $ = $ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $ \pm $ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} $$
#ceq(e)
乗算
#ceq(q)
  $$ \ppd{(f \cdot g)}{x} $ = $ \ppd{f}{x} $ \cdot $ g $ + $ f $ \cdot $ \ppd{g}{x} $$
#ceq(q)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}(f \cdot g)}{{\mathfrak d}x} $ = $ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} $ \cdot $ g $ + $ f $ \cdot $ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} $$
#ceq(e)
除算
#ceq(q)
  $$ \ppd{(f\,/g)}{x} $ = $ \ppd{f}{x} \!\bigg/\! g $ - $ f $ \cdot \ppd{g}{x} \!\bigg/\! g^2 $$
#ceq(q)
  $$ \ffd{{\mathfrak d}(f\,/g)}{{\mathfrak d}x} $ = $ \ffd{{\mathfrak d}f}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g $ + $ f $ \cdot $ \ffd{{\mathfrak d}g}{{\mathfrak d}x} \!\bigg/\! g^2 $$
#ceq(d)

%bodynote
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