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/オイラーの連鎖式
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* 凌宮読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ [#j3ff5608]
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学の分野では圧力$$ P $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
#ceq(e)
オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
;,問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ao]-1 $$である。
;,一般的な証明
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$を約分するから上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を符号込みで約分できるようになる。
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：
#ceq(e)
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]-1 $$
$$ \iro[ao]-1 $$
#ceq(end)
ここで、$$ k_? $$は全て係数であり、約分も符号も小学校同様に扱って良い。
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* 基礎知識 [#f308f575]
//* 基礎知識 [#f308f575]
;,オイラーの連鎖式の符号は、「$$ \iro[ak]- $$」を直感的に捉えられれば、ことが済む。
;,その原因を探ると、陽関数と陰関数に辿り着く。
;,このため、凌宮数学では、陽微分と陰微分の概念を作り出し、微分の符号を直感的に扱う。
//;,オイラーの連鎖式の符号は、「$$ \iro[ao]- $$」を直感的に捉えられれば、ことが済む。
//;,その原因を探ると、陽関数と陰関数に辿り着く。
//;,このため、凌宮数学では、陽微分と陰微分の概念を作り出し、微分の符号を直感的に扱う。
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** 陽関数と陰関数 [#ffe3f2a9]
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//** 陽関数と陰関数 [#ffe3f2a9]
//
//;,関数は本来の入力と出力があるが、入力側の変数を独立変数、出力側の変数を従属変数と呼ぶ。
//;,独立変数を既知として、唯一の従属変数を計算するのが陽関数としての使い方である。
//;,従属変数を既知として、独立変数の１つを逆算するのが陰関数としての使い方である。
//
//;,例えば２変数関数$$ f $$は、３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を表す。
//;,入力側の$$ x $$と$$ y $$を既知として出力側の$$ z $$を求めるのが陽関数としての使い方である。
//;,入力側の$$ z $$を既知として、$$ x $$または$$ y $$を求めるのが陰関数としての使い方になる。
//- 関数：$$ z $ = $ f(x, y) $$
//-- 陽関数： $$ z $ = $ f(a, b) $$
//-- 陰関数： $$ c $ = $ f(x, b) $$、$$ c $ = $ f(a, y) $$
;,関数は本来の入力と出力があるが、入力側の変数を独立変数、出力側の変数を従属変数と呼ぶ。
;,独立変数を既知として、唯一の従属変数を計算するのが陽関数としての使い方である。
;,従属変数を既知として、独立変数の１つを逆算するのが陰関数としての使い方である。
;,例えば２変数関数$$ f $$は、３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を表す。
;,入力側の$$ x $$と$$ y $$を既知として出力側の$$ z $$を求めるのが陽関数としての使い方である。
;,入力側の$$ z $$を既知として、$$ x $$または$$ y $$を求めるのが陰関数としての使い方になる。
- 関数：$$ z $ = $ f(x, y) $$
-- 陽関数： $$ z $ = $ f(a, b) $$
-- 陰関数： $$ c $ = $ f(x, b) $$、$$ c $ = $ f(a, y) $$
//;,陽関数では、変数を独立変数と呼ばれる既知の変数と従属変数と呼ばれる未知の変数に分け、
//;,変数間にある関係の他に、独立変数から従属変数を求める手段も同時に与える。
//;,表記としては、独立変数は$$ (x,y) $$のように括弧で括り、従属変数は$$ z $$は関数値と等号で結ぶ。
//
//;,陰関数では、全ての変数を平等に扱い、それらの間にある関係を与える。
//;,表記としては、変数は全て括弧で括り、関数値は定数と等号で結ぶ。
//;,変数を求めるには、具体的に陽関数の形に変形する必要があるため、陽関数より抽象度が高い。
//
//;,任意の２変数の陽関数$$ z $ = $ f(x, y) $$に対し、
//;,$$ F(x) $ = $ f(x, y) $ \iro[ak]- $ z $$と独立変数を移項することで等価の陰関数を簡単に作り出せる。
//;,結論から言うと、この移項で発生する「$$ \iro[ak]- $$」がオイラーの連鎖式に現れる「$$ \iro[ak]- $$」に繋がる。
//;,$$ F(x) $ = $ f(x, y) $ \iro[ao]- $ z $$と独立変数を移項することで等価の陰関数を簡単に作り出せる。
//;,結論から言うと、この移項で発生する「$$ \iro[ao]- $$」がオイラーの連鎖式に現れる「$$ \iro[ao]- $$」に繋がる。
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** 微分係数としての微分 [#d07f5765]
* 微分係数としての微分 [#d07f5765]
;,微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
;,それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。
|l=:l: |l: |l: |c: | | |c
|*被近似関数 |> |*１次近似 |*微分係数 |< |< |
|^ |> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*従属変数表記 |
|$$ z $ = $ f(x, y) $$|> |$$ z $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $$ |$$ k_x $$、$$ k_y $$|$$ \ppd{f}{x} $$、$$ \ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$|t=:
|tx: |tx:|$$ x $ = $ \ffd{k_0}{-k_x} $ + $ \ffd{-1 }{-k_x} $ z $ + $ \ffd{k_y}{-k_x} $ y $$| | |$$ \ppd{x}{z} $$、$$ \ppd{x}{y} $$|
|tx: |tx:|$$ y $ = $ \ffd{k_0}{-k_y} $ + $ \ffd{k_x}{-k_y} $ x $ + $ \ffd{-1 }{-k_y} $ z $$| | |$$ \ppd{y}{x} $$、$$ \ppd{y}{z} $$|
|^ |^ |^ | | ||tx:
| |l: |l: |c: | | | |c
|*被近似関数 |> |*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|^ |> |^ |*記号 |*関数 |*従属変数 |^ |
|$$ z $ = $ f(x,y) $$|> |$$ z $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $$ |$$ k_x $,$ k_y $$|$$ \ppd{f}{x} $,$ \ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{k_x}{ 1 } $,$ \ffd{k_y}{ 1 } $$|t=:
|tx: |tx: |$$ x $ = $ \ffd{k_0}{-k_x} $ + $ \ffd{k_y}{-k_x} $ y $ + $ \ffd{-1 }{-k_x} $ z $$| | |$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- $ \ffd{k_y}{k_x} $,$ \ffd{ 1 }{k_x} $$|
|tx: |tx: |$$ y $ = $ \ffd{k_0}{-k_y} $ + $ \ffd{-1 }{-k_y} $ z $ + $ \ffd{k_x}{-k_y} $ x $$| | |$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{k_y} $,$ \iro[ak]- $ \ffd{k_x}{k_y} $$|
;,$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $ = $ \cdot $$の１次近似式から移項で作った式を利用した。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$と置いて$$ x $ = $ l_0 $ + $ l_y $ y $ + $ l_z $ z $$と近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならん。
;,$$ z $ = $ f(x,y) $$も$$ x $ = $ g(y,z) $$も同じ関係を記述している以上、近似式も１つ選んで使い続けば良い。
陰関数も同様に考えると次のようになる：
| |l=:l: |l: |c: | | |c
|* |*被近似関数 |*１次近似 |*微分係数|< |< |
|^ |^ |^ |*記号 |*関数の微分 |*独立変数の微分 |
|*１変数関数|$$ z $ = $ f(x) $$|$$ z $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $$|$$ k_x $$|$$ \ddd{f}{x} $$|$$ \ddd{z}{x} $$|t=:
|*２変数関数|$$ z $ = $ f(x, y) $$|$$ z $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $$|$$ k_x $$|$$ \ppd{f}{x} $$|$$ \ppd{z}{x} $$|
|^ |^ |^ |$$ k_y $$|$$ \ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{y} $$|tx:
;,重要なのは以下の４点：
- 移項のために「$$ \iro[ao]-$$」が生じること。
- 通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
- それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
- 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ao]- $$」が残る。
このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ao]- $$」を正しく扱えられる。
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* 陽微分と陰微分 [#kf175e12]
以上の結果を受けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。
- ''&color(#C00){陽微分};''：関数の独立変数と従属変数に関する微分
- ''&color(#00F){陰微分};''：関数の独立変数と独立変数に関する微分
;,そうすると、関数を一次近似した式の係数で微分の値を表すとき、
;,&color(#00F){陽微分};には負号が付かず、&color(#C00){陰微分};には「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ。
;,例えば、&color(#00F){陽関数};$$ z $ = $ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{x}{z} \Big)_y $$が&color(#00F){陽微分};になる。
;,一方で、&color(#C00){陰関数};$$ 0 $ = $ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \Big( \ppd{y}{x} \Big)_z $$が&color(#C00){陰微分};になる。
;,ただし、&color(#00F){陽関数};でも、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ f $$を&color(#C00){陰関数};扱い
((偏微分の定義から$$ z $$を定数と見なすため、陽関数$$ z $ = $ f(x, y) $$でも陰関数$$ 0 $ = $ f(x, y) $$と同じになる。))にした&color(#C00){陰微分};になる。
;,対して、&color(#C00){陰関数};には独立変数が存在しないため、&color(#C00){陰関数};の&color(#00F){陽微分};は存在しない。
;,２変数関数$$ f(x, y) $$は一般的に$$ f(x, y) $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$で一次近似できる。
;,ここで、$$ a $$と$$ b $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$に対応する係数で、$$ k $$は定数項である。
;,そして、$$ a $$を$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$、$$ b $$を$$ \Big( \ppd{f}{y} \Big)_x $$と書くのが微分係数としての微分である。
;,&color(#00F){陽関数};の文脈では、$$ z $ = $ f(x, y) $$の一次近似が$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$になり、
;,微分係数を$$ a $ = $ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$のように関数値の代わりに従属変数で書くことができる。
;,このため、&color(#00F){陽微分};は微分係数ということになる。
;,一方で、&color(#C00){陰微分};は$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$を変形して求める必要がある。
;,例えば、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ x $ = $ \ffd{z}{a} \iro[ak]- \ffd{b}{a}y \iro[ak]- \ffd{k}{a} $$にしてから、
$$ y $$の係数を取って$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $ = $ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$と求まる。
;,このように、''&color(#C00){陰微分};は２つの微分係数の割り算に「$$ \iro[ak]- $$」が付いた値''になる。
;,例えば、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ x $ = $ \ffd{z}{a} \iro[ao]- \ffd{b}{a}y \iro[ao]- \ffd{k}{a} $$にしてから、
$$ y $$の係数を取って$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $ = $ \iro[ao]- \ffd{b}{a} $$と求まる。
;,このように、''&color(#C00){陰微分};は２つの微分係数の割り算に「$$ \iro[ao]- $$」が付いた値''になる。
;,重要なので、強調しながら纏めると、
;,''&color(#00F){陽微分};は''高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''通常の微分''である。
;,''&color(#C00){陰微分};は''大学で黙って登場するが、通常の微分と違って、係数で書くと''「$$ \iro[ak]- $$」が付く''性質を持つ
((この「$$ \iro[ak]- $$」の付く・付かない性質が、陰微分・陽微分と名付けた本来の理由である。))。
;,''&color(#C00){陰微分};は''大学で黙って登場するが、通常の微分と違って、係数で書くと''「$$ \iro[ao]- $$」が付く''性質を持つ
((この「$$ \iro[ao]- $$」の付く・付かない性質が、陰微分・陽微分と名付けた本来の理由である。))。
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* 陰関数のオイラーの連鎖式 [#t0b35779]
;,オイラーの連鎖式$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
;,そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
;,このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。
;,オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：
#ceq(e)
式１： $$ 0 $ = $ F(x, y, z) $$
#ceq(end)
;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て&color(#C00){陰微分};で、掛け合わせると
;, ・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が３つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
;, ・ 符号が「$$ \iro[ao]- $$」が３つで「$$ \iro[ao]- $$」に、
;, ・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と合わせて$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
;,と合わせて$$ \iro[ao]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
%bodynote
*** [#yc8d9e40]
;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。
;,まず、式１を１次近似すると：
#ceq(e)
$$ 0 $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ c $ z $ + $ k $$
#ceq(end)
;,次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「$$ \iro[ak]- $$」を付ければ完成：
#ceq(e)
$$ \ffd{x}{y} $ \Rightarrow $ \ffd{a}{b} $ \clap{\nearrow}{\searrow} $ \ffd{b}{a} $ \Rightarrow $ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$
#ceq(end)
;,このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：
#ceq(e)
|*微分 |*種類 |*値 |
|$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰関数};|$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$|
|$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$|^ |$$ \iro[ak]- $ \ffd{c}{b} $$|
|$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ak]- $ \ffd{a}{c} $$|
#ceq(end)
;,したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 陽関数のオイラーの連鎖式（参考） [#mcae21ed]
;,陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
;,物理学や工学で扱う方程式
((例： 理想気体の状態方程式$$ PV = nRT $$ …… マクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$))
の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。
;,オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：
#ceq(e)
式２： $$ z $ = $ f(x, y) $$
#ceq(end)
;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、$$ z $$を含む２つが&color(#00F){陽微分};で、残り１つが&color(#C00){陰微分};であるのが分かる。
;,したがって、これらを掛け合わせると
;, ・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が１つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
;, ・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
%bodynote
*** [#e2bb916d]
;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。
;,まず、式３を１次近似すると：
#ceq(e)
$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$
#ceq(end)
;,次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：
- $$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$： これは&color(#C00){陰微分};のため、前節同様$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$： これは&color(#00F){陽微分};だが、従属変数$$ z $$が下に居るため、微分係数の逆数$$ \ffd{1}{b} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$： これも&color(#00F){陽微分};で、普通に微分係数$$ a $$そのものになる。
;,以上の結果を表に纏めると：
#ceq(e)
|*微分 |*種類 |*値 |
|$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰微分};|$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$|
|$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$| &color(#00F){陽微分};|$$ \iro[ai]+ \ffd{1}{b} $$|
|$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ai]+ {\,a\,} $$|
#ceq(end)
したがって、陽関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ai]+ \ffd{1}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ai]+{\,a\,} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
%bodynote
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