凌宮読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ EditToHeaderToFooter

凌宮読解術：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する

*1。*2。

オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$ オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$


問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ao]-1 $$である。
問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
一般的な証明*3*4は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。 *5 *6 は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$を約分するから上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を符号込みで約分できるようになる。
しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て$$ \partial x $$をそのまま消すから、計算が上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる仕組みを見て$$ \partial x $$を正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：
凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$ $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$ $$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$ $$ \iro[ao]-1 $$ $$ \iro[ak]-1 $$

ここで、$$ k_? $$は全て係数であり、約分も符号も小学校同様に扱って良い。$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。
*1 熱力学や熱化学の分野では圧力$$ P $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*3 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*4 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形
*5 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*6 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

陰微分と陽微分 EditToHeaderToFooter


微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
例えば、関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$は１次式$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$と近似できるが、
変数$$ x $$と$$ y $$の係数$$ a_x $$と$$ a_y $$が微分係数で、それぞれが$$ z $$の偏微分$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$となる。

一方で、$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。

微分係数としての微分 EditToHeaderToFooter

表１： $$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$の１次近似と微分係数
１次近似微分係数値
係数表記関数表記変数表記
$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$$$ a_x , a_y $$$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{a_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{a_y}{ 1 } $$
$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$
$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$

微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。
ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]- $$」が発生することである。
その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]- $$」付くのは別の独立変数の項に限る。
このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。
被近似関数１次近似微分係数値
記号関数従属変数
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ z $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{k_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{k_y}{ 1 } $$
 　$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{k_0}{-k_x} $$$$ + $$$$ \ffd{k_y}{-k_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{-1 }{-k_x} $$$$ z $$  $$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{k_y}{k_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{k_x} $$
 　$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{k_0}{-k_y} $$$$ + $$$$ \ffd{-1 }{-k_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{k_x}{-k_y} $$$$ x $$  $$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{k_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{k_x}{k_y} $$

そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。
  • 陰微分： 関数を陰関数と見なした独立変数と独立変数に関する微分
  • 陽微分： 関数を陽関数と見なした従属変数と独立変数に関する微分

$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $$$$ = $$$$ \cdot $$の１次近似式から移項で作った式を利用した。
$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$と置いて$$ x $$$$ = $$$$ l_0 $$$$ + $$$$ l_y $$$$ y $$$$ + $$$$ l_z $$$$ z $$と近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならん。
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$も$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$も同じ関係を記述している以上、近似式も１つ選んで使い続けば良い。
すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の陰陽で「$$ \iro[ak]- $$」の有無を判定できる。
  • 陰微分： 「$$ \iro[ak]- $$」有り
  • 陽微分： 「$$ \iro[kr]- $$」無し

重要なのは以下の４点：
  • 移項のために「$$ \iro[ao]- $$」が生じること。
  • 通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
  • それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
  • 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ao]- $$」が残る。
このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ao]- $$」を正しく扱えられる。

陽微分と陰微分 EditToHeaderToFooter

参考：$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$への適応 EditToHeaderToFooter

以上の結果を受けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。
  • 陽微分：関数の独立変数と従属変数に関する微分
  • 陰微分：関数の独立変数と独立変数に関する微分
    高校で習う$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$は、陽関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$と陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。

そうすると、関数を一次近似した式の係数で微分の値を表すとき、
陽微分には負号が付かず、陰微分には「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ。

例えば、陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{x}{z} \Big)_y $$が陽微分になる。
一方で、陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \Big( \ppd{y}{x} \Big)_z $$が陰微分になる。
ただし、陽関数でも、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ f $$を陰関数扱い *7にした陰微分になる。
対して、陰関数には独立変数が存在しないため、陰関数の陽微分は存在しない。

２変数関数$$ f(x, y) $$は一般的に$$ f(x, y) $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$で一次近似できる。
ここで、$$ a $$と$$ b $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$に対応する係数で、$$ k $$は定数項である。
そして、$$ a $$を$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$、$$ b $$を$$ \Big( \ppd{f}{y} \Big)_x $$と書くのが微分係数としての微分である。

陽関数の文脈では、$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の一次近似が$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$になり、
微分係数を$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$のように関数値の代わりに従属変数で書くことができる。
このため、陽微分は微分係数ということになる。

一方で、陰微分は$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$を変形して求める必要がある。
例えば、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{z}{a} \iro[ao]- \ffd{b}{a}y \iro[ao]- \ffd{k}{a} $$にしてから、 $$ y $$の係数を取って$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$$$ = $$$$ \iro[ao]- \ffd{b}{a} $$と求まる。
このように、陰微分は２つの微分係数の割り算に「$$ \iro[ao]- $$」が付いた値になる。

重要なので、強調しながら纏めると、
陽微分は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる通常の微分である。
陰微分は大学で黙って登場するが、通常の微分と違って、係数で書くと「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ *8。
*7 偏微分の定義から$$ z $$を定数と見なすため、陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$でも陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ f(x, y) $$と同じになる。
*8 この「$$ \iro[ao]- $$」の付く・付かない性質が、陰微分・陽微分と名付けた本来の理由である。

陰関数のオイラーの連鎖式 EditToHeaderToFooter


オイラーの連鎖式$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。

オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：
陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。

式１：　$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x, y, z) $$ $$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$ 　　$$ \Rightarrow $$　　 $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ \ffd{1}{a_x} $$$$ = $$$$ 1 $$


この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て陰微分で、掛け合わせると
　　・ 符号が「$$ \iro[ao]- $$」が３つで「$$ \iro[ao]- $$」に、
　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と合わせて$$ \iro[ao]- 1 $$なるのが容易に予想できる。

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具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式１を１次近似すると：
陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れては打ち消される。

$$ 0 $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ c $$$$ z $$$$ + $$$$ k $$ $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$ 　　$$ \Rightarrow $$　　 $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ = $$$$ 1 $$


次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「$$ \iro[ak]- $$」を付ければ完成：
$$ \ffd{x}{y} $$$$ \Rightarrow $$$$ \ffd{a}{b} $$$$ \clap{\nearrow}{\searrow} $$$$ \ffd{b}{a} $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$

どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。

このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：
|*微分 |*種類 |*値 | |$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| 陰関数|$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{b}{a} $$| |$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$|^ |$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{c}{b} $$| |$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{a}{c} $$|

したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$ $$ = $$ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$ $$ = $$ $$ \iro[ak]- 1 $$

陽関数のオイラーの連鎖式（参考） EditToHeaderToFooter

本題：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$への適応 EditToHeaderToFooter


陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
物理学や工学で扱う方程式 *9 の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。
大学で習う$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$は、 陽関数$$ x $$$$ = $$$$ f(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ g(z,x) $$、$$ z $$$$ = $$$$ h(x,y) $$の３通りと、
陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りの考え方がある。

オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$で考える場合、
$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。

式２：　$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$ $$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$

$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ \ffd{1}{a_y} $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、$$ z $$を含む２つが陽微分で、残り１つが陰微分であるのが分かる。
したがって、これらを掛け合わせると
　　・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が１つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
*9 例：　理想気体の状態方程式$$ PV = nRT $$　……　マクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$

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具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式３を１次近似すると：
陽関数$$ x = $$$$ g(y,z) $$や$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。

$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$


次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：
  • $$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$：　これは陰微分のため、前節同様$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{b}{a} $$になる。
  • $$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$：　これは陽微分だが、従属変数$$ z $$が下に居るため、微分係数の逆数$$ \ffd{1}{b} $$になる。
  • $$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$：　これも陽微分で、普通に微分係数$$ a $$そのものになる。

以上の結果を表に纏めると： $$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$$$ \approx $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{b_y}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $$$$ \ffd{1}{b_z} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

|*微分 |*種類 |*値 | |$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| 陰微分|$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$| |$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$| 陽微分|$$ \iro[ai]+ \ffd{1}{b} $$| |$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ai]+ {\,a\,} $$| $$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$$$ \approx $$$$ c_0 $$$$ + $$$$ c_z $$$$ z $$$$ + $$$$ c_x $$$$ x $$

$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{c_x} $$$$ \ffd{c_z}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$
したがって、陽関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$ $$ = $$ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ai]+ \ffd{1}{b} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ai]+{\,a\,} \!\Big) $$ $$ = $$ $$ \iro[ak]- 1 $$ $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$

　$$ \Rightarrow $$　
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数では全ての変数が独立変数であるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。
したがって、陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽である。
表２： $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）
１次近似微分係数値
記号表記関数表記変数表記
$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{z} $$*10$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$
　$$ x $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_x} $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_x} $$$$ y $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$
　$$ y $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_y} $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_y} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$
　$$ z $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_z} $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_z} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_z} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$
*10 陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter


オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。
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