オイラーの連鎖式のバックアップ(No.18)

凌宮読取術： $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$

任意の２変数関数 $$ z $$ $$ = $$ $$ f(x, y) $$ について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1。

オイラーの連鎖式： $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $\iro[ao]-1$

問題は、 $\partial x$ などを約分して $$ +1 $$ にしたどころで、そんな期待を裏切る $\iro[ao]-1$ である。
一般的な証明*2 *3は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
$$ dx $$ が約分できる結果だけ見て、 $\partial x$ を約分するから上手く行かない。
が約分できる原因を考えば、 $\partial x$ を約分は勿論、負号も問題なく処理できる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：

$\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $\Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big)$ $$ = $$ $\iro[ao]-1$

ここで、 $$ k_? $$ は全て係数であり、約分も符号も小学校同様に扱って良い。

*1 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則 $\Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T$ $\Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P$ $\Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V$ $$ = $$ $$ -1 $$ の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

微分係数としての微分

微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。

被近似関数	１次近似		微分係数			値
被近似関数	１次近似		記号	関数	従属変数	値
				$\ppd{f}{x}$ $\ppd{f}{y}$	$\ppd{z}{x}$ $\ppd{z}{y}$	$\ffd{k_x}{ 1 }$ $\ffd{k_y}{ 1 }$
		$\ffd{k_0}{-k_x}$ $\ffd{k_y}{-k_x}$ $\ffd{-1 }{-k_x}$			$\ppd{x}{y}$ $\ppd{x}{z}$	$\iro[ak]-$ $\ffd{k_y}{k_x}$ $\ffd{ 1 }{k_x}$
		$\ffd{k_0}{-k_y}$ $\ffd{-1 }{-k_y}$ $\ffd{k_x}{-k_y}$			$\ppd{y}{z}$ $\ppd{y}{x}$	$\ffd{ 1 }{k_y}$ $\iro[ak]-$ $\ffd{k_x}{k_y}$

$\ppd{x}{y}$ や $\ppd{x}{z}$ を計算するのに、 $$ z $$ $$ = $$ $\cdots$ の１次近似式から移項で作った式を利用した。
$$ x $$ $$ = $$ $$ g(y,z) $$ と置いて $$ x $$ $$ = $$ $$ l_0 $$ $$ + $$ $$ l_y $$ $$ y $$ $$ + $$ $$ l_z $$ $$ z $$ と近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならない。
$$ z $$ $$ = $$ $$ f(x,y) $$ も $$ x $$ $$ = $$ も同じ関係を記述している以上、近似式も１つ選んで使い続けば良い。

重要なのは以下の４点：

移項のために「 $\iro[ao]-$ 」が生じること。
通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数をにしていること。
それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
両方とも独立変数の場合に限り、「 $\iro[ao]-$ 」が残る。

このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「 $\iro[ao]-$ 」を正しく扱えられる。

陽微分と陰微分

以上の結果を受けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。

陽微分：関数の独立変数と従属変数に関する微分
陰微分：関数の独立変数と独立変数に関する微分

そうすると、関数を一次近似した式の係数の割り算で微分の値を表すとき、
陽微分には負号が付かず、陰微分には「 $\iro[ao]-$ 」が付く性質を持つ。

高校では $$ y $$ $$ = $$ $$ f(x) $$ のような１変数関数しか考えないため、自ずと陽微分になる。
したがって、陽微分は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる通常の微分と言える。
これに対し、陰微分は大学で黙って登場するが、係数で書くと「 $\iro[ao]-$ 」が付く新しい微分と言える。

陽微分で考えると、高校で習う $\ddd{y}{x}$ $\ddd{x}{y}$ $$ = $$ $$ 1 $$ は、
関数を $$ y $$ $$ = $$ $$ f(x) $$ に関する２つの陽微分であり、約分できて、「 $\iro[ak]-$ 」が付かない、という結果になる。

$$ y $$ $$ = $$ $$ k_0 $$ $$ + $$ $$ k_x $$ $$ x $$ 　　 $\Rightarrow$ 　　 $\ddd{y}{x}$ $\ddd{x}{y}$ $$ = $$ $\ffd{k_x}{k_y}$ $\ffd{k_y}{k_x}$ $$ = $$ $$ 1 $$

約分の対象は近似式の係数であるが、「 $\iro[ak]-$ 」が付かないため $$ dy $$ と $$ dx $$ を消していると考えても通る。

同様に、大学で習う $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $$ -1 $$ は、
関数を $$ z $$ $$ = $$ $$ f(x,y) $$ で考えると、１つの陰微分 $\ppd{x}{y}$ と２つの陽微分 $\ppd{y}{z}$ 、 $\ppd{z}{x}$ の積であるため、
係数の約分は相変わらずで、符号は３つの「 $\iro[ak]-$ 」で「 $\iro[ak]-$ 」になる。

$$ y $$ $$ = $$ $$ k_0 $$ $$ + $$ $$ k_x $$ $$ x $$ 　　 $\Rightarrow$ 　　 $\ppd{x}{y}$ $\ppd{y}{z}$ $\ppd{z}{x}$ $$ = $$ $\Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_y} \Big)$ $\Big( \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \Big)$ $\Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \Big)$ $$ = $$ $$ 1 $$

陰関数のオイラーの連鎖式

オイラーの連鎖式 $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ $$ = $$ $$ -1 $$ 自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。

オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：

式１：　 $$ 0 $$ $$ = $$ $$ F(x, y, z) $$

この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て陰微分で、掛け合わせると
　　・符号が「 $\iro[ao]-$ 」が３つで「 $\iro[ao]-$ 」に、
　　・大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と合わせて $\iro[ao]- 1$ なるのが容易に予想できる。

具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式１を１次近似すると：

$$ 0 $$ $$ = $$ $$ a $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ y $$ $$ + $$ $$ c $$ $$ z $$ $$ + $$ $$ k $$

次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「 $\iro[ak]-$ 」を付ければ完成：

$\ffd{x}{y}$ $\Rightarrow$ $\ffd{a}{b}$ $\clap{\nearrow}{\searrow}$ $\ffd{b}{a}$ $\Rightarrow$ $\iro[ak]- \ffd{b}{a}$

このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：

微分	種類	値
$\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z$	陰関数	$\iro[ak]-$ $\ffd{b}{a}$
$\Big( \ppd{y}{z} \Big)_x$		$\iro[ak]-$ $\ffd{c}{b}$
$\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$		$\iro[ak]-$ $\ffd{a}{c}$

したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：

$\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ $$ = $$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big)$ $$ = $$ $\iro[ak]- 1$

陽関数のオイラーの連鎖式（参考）

陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
物理学や工学で扱う方程式*4の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。

オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：

式２：　 $$ z $$ $$ = $$ $$ f(x, y) $$

この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、 $$ z $$ を含む２つが陽微分で、残り１つが陰微分であるのが分かる。
したがって、これらを掛け合わせると
　　・符号が「 $\iro[ak]-$ 」が１つで「 $\iro[ak]-$ 」に、
　　・大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と $\iro[ak]- 1$ なるのが容易に予想できる。

*4 例：　理想気体の状態方程式 $$ PV = nRT $$

　……　マクスウェルの規則 $\Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T$ $\Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P$ $\Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V$ $$ = $$ $$ -1 $$

具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式３を１次近似すると：

$$ z $$ $$ = $$ $$ a $$ $$ x $$ $$ + $$ $$ b $$ $$ y $$ $$ + $$ $$ k $$

次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：

$\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z$ ：　これは陰微分のため、前節同様 $\iro[ak]-$ $\ffd{b}{a}$ になる。
$\Big( \ppd{y}{z} \Big)_x$ ：　これは陽微分だが、従属変数が下に居るため、微分係数の逆数 $\ffd{1}{b}$ になる。
$\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$ ：　これも陽微分で、普通に微分係数そのものになる。

以上の結果を表に纏めると：

微分	種類	値
$\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z$	陰微分	$\iro[ak]- \ffd{b}{a}$
$\Big( \ppd{y}{z} \Big)_x$	陽微分	$\iro[ao]+ \ffd{1}{b}$
$\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$	陽微分	$\iro[ao]+ {\,a\,}$

したがって、陽関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：

$\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ $$ = $$ $\Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ao]+ \ffd{1}{b} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[ao]+{\,a\,} \!\Big)$ $$ = $$ $\iro[ak]- 1$