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/オイラーの連鎖式
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* 凌宮読取術：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ [#j3ff5608]
* 凌宮読解術：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$ [#j3ff5608]
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
#ceq(e)
オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ao]-1 $$
オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
;,問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ao]-1 $$である。
;,問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,一般的な証明
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$を約分するから上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を約分は勿論、負号も問題なく処理できる。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て$$ \partial x $$をそのまま消すから、計算が上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる仕組みを見て$$ \partial x $$を正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：
#ceq(e)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ao]-1 $$
$$ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
ここで、$$ k_? $$は全て係数であり、約分も符号も小学校同様に扱って良い。
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。
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//* 基礎知識 [#f308f575]
* ''&color(#C00){陰微分};と''&color(#06F){陽微分}; [#b7a03ef5]
//;,オイラーの連鎖式の符号は、「$$ \iro[ao]- $$」を直感的に捉えられれば、ことが済む。
//;,その原因を探ると、陽関数と陰関数に辿り着く。
//;,このため、凌宮数学では、陽微分と陰微分の概念を作り出し、微分の符号を直感的に扱う。
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//** 陽関数と陰関数 [#ffe3f2a9]
//
//;,関数は本来の入力と出力があるが、入力側の変数を独立変数、出力側の変数を従属変数と呼ぶ。
//;,独立変数を既知として、唯一の従属変数を計算するのが陽関数としての使い方である。
//;,従属変数を既知として、独立変数の１つを逆算するのが陰関数としての使い方である。
//
//;,例えば２変数関数$$ f $$は、３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を表す。
//;,入力側の$$ x $$と$$ y $$を既知として出力側の$$ z $$を求めるのが陽関数としての使い方である。
//;,入力側の$$ z $$を既知として、$$ x $$または$$ y $$を求めるのが陰関数としての使い方になる。
//- 関数：$$ z $ = $ f(x, y) $$
//-- 陽関数： $$ z $ = $ f(a, b) $$
//-- 陰関数： $$ c $ = $ f(x, b) $$、$$ c $ = $ f(a, y) $$
;,微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
;,例えば、関数$$ z $ = $ f(x,y) $$は１次式$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$と近似できるが、
;,変数$$ x $$と$$ y $$の係数$$ a_x $$と$$ a_y $$が微分係数で、それぞれが$$ z $$の偏微分$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$となる。
//;,陽関数では、変数を独立変数と呼ばれる既知の変数と従属変数と呼ばれる未知の変数に分け、
//;,変数間にある関係の他に、独立変数から従属変数を求める手段も同時に与える。
//;,表記としては、独立変数は$$ (x,y) $$のように括弧で括り、従属変数は$$ z $$は関数値と等号で結ぶ。
//
//;,陰関数では、全ての変数を平等に扱い、それらの間にある関係を与える。
//;,表記としては、変数は全て括弧で括り、関数値は定数と等号で結ぶ。
//;,変数を求めるには、具体的に陽関数の形に変形する必要があるため、陽関数より抽象度が高い。
//
//;,任意の２変数の陽関数$$ z $ = $ f(x, y) $$に対し、
//;,$$ F(x) $ = $ f(x, y) $ \iro[ao]- $ z $$と独立変数を移項することで等価の陰関数を簡単に作り出せる。
//;,結論から言うと、この移項で発生する「$$ \iro[ao]- $$」がオイラーの連鎖式に現れる「$$ \iro[ao]- $$」に繋がる。
;,一方で、$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
;,例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
;,同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。
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* 微分係数としての微分 [#d07f5765]
|*l:表１： $$ z $ = $ f(x,y) $$の１次近似と微分係数|<|<|<|<|h
|l: |c: | | | |c
|*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|^ |*係数表記 |*関数表記 |*変数表記 |^ |
|$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$ |$$ a_x , a_y $$|$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{a_x}{ 1 } $,$ \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|$$ x $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $ y $ + $ \ffd{ 1 }{a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $,$ \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|$$ y $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $ + $ \ffd{ 1 }{a_y} $ z $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$|
;,微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
;,それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。
;,ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]-$$」が発生することである。
;,その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]-$$」付くのは別の独立変数の項に限る。
;,このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。
| |l: |l: |c: | | | |c
|*被近似関数 |> |*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|^ |> |^ |*記号 |*関数 |*従属変数 |^ |
|$$ z $ = $ f(x,y) $$|> |$$ z $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $$ |$$ k_x $,$ k_y $$|$$ \ppd{f}{x} $,$ \ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{k_x}{ 1 } $,$ \ffd{k_y}{ 1 } $$|t=:
|tx: |tx: |$$ x $ = $ \ffd{k_0}{-k_x} $ + $ \ffd{k_y}{-k_x} $ y $ + $ \ffd{-1 }{-k_x} $ z $$| | |$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- $ \ffd{k_y}{k_x} $,$ \ffd{ 1 }{k_x} $$|
|tx: |tx: |$$ y $ = $ \ffd{k_0}{-k_y} $ + $ \ffd{-1 }{-k_y} $ z $ + $ \ffd{k_x}{-k_y} $ x $$| | |$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{k_y} $,$ \iro[ak]- $ \ffd{k_x}{k_y} $$|
;,そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 関数を&color(#C00){陰関数};と見なした&color(#C00){独立変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
- ''&color(#06F){陽微分};''： 関数を&color(#06F){陽関数};と見なした&color(#06F){従属変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
;,$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $ = $ \cdots $$の１次近似式から移項で作った式を利用した。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$と置いて$$ x $ = $ l_0 $ + $ l_y $ y $ + $ l_z $ z $$と近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならない。
;,$$ z $ = $ f(x,y) $$も$$ x $ = $ g(y,z) $$も同じ関係を記述している以上、近似式も１つ選んで使い続けば良い。
;,すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の''&color(#C00){陰};&color(#06F){陽};''で「$$ \iro[ak]- $$」の''&color(#C00){有};&color(#06F){無};''を判定できる。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 「$$ \iro[ak]- $$」''&color(#C00){有り};''
- ''&color(#06F){陽微分};''： 「$$ \iro[kr]- $$」''&color(#06F){無し};''
;,重要なのは以下の４点：
- 移項のために「$$ \iro[ao]-$$」が生じること。
- 通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
- それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
- 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ao]- $$」が残る。
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このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ao]- $$」を正しく扱えられる。
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* 陽微分と陰微分 [#w06fc3d1]
* 参考：$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$への適応 [#t1b111fb]
以上の結果を受けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。
- ''&color(#C00){陽微分};''： 関数の独立変数と従属変数に関する微分
- ''&color(#06F){陰微分};''： 関数の独立変数と独立変数に関する微分
;,高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、陽関数$$ y $ = $ f(x) $$と陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。
;,そうすると、関数を一次近似した式の係数の割り算で微分の値を表すとき、
;,&color(#C00){陽微分};には負号が付かず、&color(#06F){陰微分};には「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ。
;,高校では$$ y $ = $ f(x) $$のような１変数関数しか考えないため、自ずと陽微分になる。
;,したがって、''&color(#C00){陽微分};''は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''通常の微分''と言える。
;,これに対し、''&color(#06F){陰微分};''は大学で黙って登場するが、係数で書くと''「$$ \iro[ao]- $$」が付く新しい微分''と言える。
;,陽微分で考えると、高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、
;,関数を$$ y $ = $ f(x) $$に関する２つの陽微分であり、約分できて、「$$ \iro[ak]- $$」が付かない、という結果になる。
;,陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。
#ceq(e)
$$ y $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $$
$$ y $ = $ f(x) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{k_x}{k_y} $ \ffd{k_y}{k_x} $ = $ 1 $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{a_x}{1} $ \ffd{1}{a_x} $ = $ 1 $$
#ceq(end)
;,約分の対象は近似式の係数であるが、「$$ \iro[ak]- $$」が付かないため$$ dy $$と$$ dx $$を消していると考えても通る。
;,同様に、大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、
;,関数を$$ z $ = $ f(x,y) $$で考えると、１つの陰微分$$ \ppd{x}{y} $$と２つの陽微分$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{z}{x} $$の積であるため、
;,係数の約分は相変わらずで、符号は３つの「$$ \iro[ak]- $$」で「$$ \iro[ak]- $$」になる。
;,陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れては打ち消される。
#ceq(e)
$$ y $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $$
$$ 0 $ = $ F(x,y) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ a_y $ y $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ 1 $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ = $ 1 $$
#ceq(end)
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////////////////////////////////////////////////////////////////
;,どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。
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* 陰関数のオイラーの連鎖式 [#t0b35779]
* 本題：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$への適応 [#x0f147ae]
;,オイラーの連鎖式$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
;,そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
;,このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。
;,大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、
陽関数$$ x $ = $ f(y,z) $$、$$ y $ = $ g(z,x) $$、$$ z $ = $ h(x,y) $$の３通りと、
;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りの考え方がある。
;,オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：
陽関数$$ z $ = $ f(x,y) $$で考える場合、
;,$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
#ceq(e)
式１： $$ 0 $ = $ F(x, y, z) $$
$$ z $ = $ f(x,y) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ \ffd{1}{a_y} $ \ffd{a_x}{1} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て&color(#C00){陰微分};で、掛け合わせると
;, ・ 符号が「$$ \iro[ao]- $$」が３つで「$$ \iro[ao]- $$」に、
;, ・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と合わせて$$ \iro[ao]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
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*** [#yc8d9e40]
;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。
;,まず、式１を１次近似すると：
;,陽関数$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。
#ceq(e)
$$ 0 $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ c $ z $ + $ k $$
#ceq(end)
;,次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「$$ \iro[ak]- $$」を付ければ完成：
$$ x $ = $ g(y,z) $ \approx $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_y}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{1}{b_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(e)
$$ \ffd{x}{y} $ \Rightarrow $ \ffd{a}{b} $ \clap{\nearrow}{\searrow} $ \ffd{b}{a} $ \Rightarrow $ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$
$$ y $ = $ h(z,x) $ \approx $ c_0 $ + $ c_z $ z $ + $ c_x $ x $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{1}{c_x} $ \ffd{c_z}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：
;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。
#ceq(e)
|*微分 |*種類 |*値 |
|$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰関数};|$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$|
|$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$|^ |$$ \iro[ak]- $ \ffd{c}{b} $$|
|$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ak]- $ \ffd{a}{c} $$|
$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$
#ceq(c)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(c)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,陰関数では全ての変数が独立変数であるため、''&color(#C00){陰関数};の微分は全て&color(#C00){陰微分};''になる。
;,したがって、''陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽''である。
|*l:表２： $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）|<|<|<|<|<|h
|l: |l: |c: | | | |c
|> |*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*変数表記 |^ |
|> |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$ |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$ |t=:
|tx: |$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx: |$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx: |$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$|
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 陽関数のオイラーの連鎖式（参考） [#mcae21ed]
* まとめ・つなぎ [#cfdeff2d]
;,オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
;,しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
;,微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。
;,陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
;,物理学や工学で扱う方程式
((例： 理想気体の状態方程式$$ PV = nRT $$ …… マクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$))
の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。
;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
;,「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。
;,オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：
#ceq(e)
式２： $$ z $ = $ f(x, y) $$
#ceq(end)
;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、$$ z $$を含む２つが&color(#00F){陽微分};で、残り１つが&color(#C00){陰微分};であるのが分かる。
;,したがって、これらを掛け合わせると
;, ・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が１つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
;, ・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。
%bodynote
*** [#e2bb916d]
;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。
;,まず、式３を１次近似すると：
#ceq(e)
$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$
#ceq(end)
;,次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：
- $$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$： これは&color(#C00){陰微分};のため、前節同様$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$： これは&color(#00F){陽微分};だが、従属変数$$ z $$が下に居るため、微分係数の逆数$$ \ffd{1}{b} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$： これも&color(#00F){陽微分};で、普通に微分係数$$ a $$そのものになる。
;,以上の結果を表に纏めると：
#ceq(e)
|*微分 |*種類 |*値 |
|$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰微分};|$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$|
|$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$| &color(#00F){陽微分};|$$ \iro[ao]+ \ffd{1}{b} $$|
|$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^ |$$ \iro[ao]+ {\,a\,} $$|
#ceq(end)
したがって、陽関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]+ \ffd{1}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]+{\,a\,} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
%bodynote
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