凌宮読取術：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1。

オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \iro[ao]-1 $$

問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ao]-1 $$である。
一般的な証明*2*3は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$を約分するから上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を約分は勿論、負号も問題なく処理できる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ao]-1 $$

ここで、$$ k_? $$は全て係数であり、約分も符号も小学校同様に扱って良い。

微分係数としての微分 EditToHeaderToFooter

微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。

被近似関数１次近似微分係数値
記号関数従属変数
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$$$ a_x $$$$ , $$$$ a_y $$$$ \ppd{f}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{a_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{a_y}{ 1 } $$
 　$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{a_0}{-a_x} $$$$ + $$$$ \ffd{a_y}{-a_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{-1 }{-a_x} $$$$ z $$  $$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ao]- $$$$ \ffd{a_y}{a_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$
 　$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{a_0}{-a_y} $$$$ + $$$$ \ffd{-1 }{-a_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{a_x}{-a_y} $$$$ x $$  $$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ , $$$$ \iro[ao]- $$$$ \ffd{a_x}{a_y} $$

$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $$$$ = $$$$ \cdots $$の１次近似式から移項で作った式を利用した。
$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$と置いて$$ x $$$$ = $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$と近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならない。
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$も$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$も同じ関係を記述している以上、近似式も１つ選んで使い続けば良い。

重要なのは以下の４点：

  • 移項のために「$$ \iro[ao]- $$」が生じること。
  • 通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
  • それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
  • 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ao]- $$」が残る。

このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ao]- $$」を正しく扱えられる。

陽微分と陰微分 EditToHeaderToFooter

以上の結果を承けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。

  • 陽微分： 関数の独立変数と従属変数に関する微分
  • 陰微分： 関数の独立変数と独立変数に関する微分

そうすると、関数を一次近似した式の係数の割り算で微分の値を表すとき、
陽微分には負号が付かず、陰微分には「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ。

高校では$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$のような１変数関数しか考えないため、自ずと陽微分になる。
したがって、陽微分は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる通常の微分と言える。
これに対し、陰微分は大学で黙って登場するが、係数で書くと「$$ \iro[ao]- $$」が付く新しい微分と言える。

陽微分で考えると、高校で習う$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$は、
関数を$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$に関する２つの陽微分であり、約分できて、「$$ \iro[ao]- $$」が付かない、という結果になる。

$$ y $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$　　$$ \Rightarrow $$　　$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \ffd{a_x}{a_y} $$$$ \ffd{a_y}{a_x} $$$$ = $$$$ 1 $$

同様に、大学で習う$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$は、
関数を$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$で考えると、１つの陰微分$$ \ppd{x}{y} $$と２つの陽微分$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{z}{x} $$の積であるため、
係数の約分は相変わらず成立し、符号は「$$ \iro[ao]- $$」になる。

$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \ffd{a_z}{a_y} $$$$ \ffd{a_x}{a_z} $$$$ = $$$$ \iro[ao]- 1 $$

勿論、$$ x = $$$$ g(y,z) $$や$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$で考えても、陰となる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係と結果は変わらない。

$$ x $$$$ = $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{b_x}{b_y} $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $$$$ \ffd{b_x}{b_z} $$$$ = $$$$ \iro[ao]- 1 $$

$$ y $$$$ = $$$$ c_0 $$$$ + $$$$ c_z $$$$ z $$$$ + $$$$ c_x $$$$ x $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{c_x}{c_y} $$$$ \ffd{c_z}{c_y} $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ao]- 1 $$

*1 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

陰関数の陰微分とオイラーの連鎖式 EditToHeaderToFooter

これまで、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$に対し、
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$や$$ x = $$$$ g(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$と好きな関数を置いて陰微分と陽微分を考えてきた。
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$には関数記号が全く無いため、使う関数が自由なのは容易に想像できるだろう。

３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を記述する関数に、次の陰関数というのもある*4。

  • 陰関数： $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$

もっとも、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$には従属変数と独立変数の区別も無く、対称的である。
このため、従属変数と独立変数の区別が無く皆平等に扱う陰関数で考えた方が簡潔だったりする：

形式上、陰関数では全ての変数が独立変数と見なせるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。

$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$$$ $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ao]- 1 $$

以上。

*4 $$ F $$が陰関数であるのに対し、上記$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$や$$ x = $$$$ g(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$は陽関数と呼ばれる。
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