オイラーの連鎖式のバックアップ(No.2)

猫式読取術： $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$

任意の２変数関数 $$ z = f(x, y) $$ について、オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する*1

オイラーの連鎖式： $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ $$ = $$ $$ -1 $$

問題は、もし右辺が $$ +1 $$ ならば、恐らく誰もが「分子の $\partial x$ と分母の $\partial x$ が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、残念ながら $$ -1 $$ である。

*1 熱力学や化学の分野では圧力 $$ p $$

、体積、温度

を結ぶマクスウェルの規則 $\Big(\! \ppd{p}{V} \!\Big)_T$ $\Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p$ $\Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p$ $$ = $$ $$ -1 $$ の形で学ぶことになる。