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/オイラーの連鎖式
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* 凌宮読取術:$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ao]-1 $$ [#j3ff5608]
* 凌宮読取術:$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$ [#j3ff5608]
;,任意の2変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
#ceq(e)
オイラーの連鎖式: $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ao]-1 $$
オイラーの連鎖式: $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
;,問題は、$$ \partial x $$などを約分して$$ +1 $$にしたどころで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ao]-1 $$である。
;,問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,一般的な証明
((参考:[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考:[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を弄り回したら合ったレベルで、とても直感的とは言えない。
((参考:[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考:[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直感的とは言えない。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ早計である。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$をそのまま消すから上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を約分も負号も問題なく処理できる。
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える:
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えて約分する:
#ceq(e)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ao]-1 $$
$$ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全てがタダの係数であるため、約分も符号処理も小学校レベル。
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全てがタダの係数であるため、約分も符号処理も小学校レベルである。
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* 微分係数としての微分 [#d07f5765]
;,微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
;,それは、関数の1次近似を考える際、得られる1次式の係数を微分と定義する方法である。
|*l:表1: $$ z $ = $ f(x,y) $$の1次近似と微分係数|<|<|<|<|<|h
|l: |l: |c: | | | |c
|> |*1次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*(従属)変数表記 |^ |
|> |$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$ |$$ a_x , a_y $$|$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{a_x}{ 1 } $,$ \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|tx: |$$ x $ = $ \ffd{a_0}{-a_x} $ + $ \ffd{a_y}{-a_x} $ y $ + $ \ffd{-1 }{-a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ao]- $ \ffd{a_y}{a_x} $,$ \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|tx: |$$ y $ = $ \ffd{a_0}{-a_y} $ + $ \ffd{-1 }{-a_y} $ z $ + $ \ffd{a_x}{-a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ao]- $ \ffd{a_x}{a_y} $$|
|*l:表1: $$ z $ = $ f(x,y) $$の1次近似と微分係数|<|<|<|<|h
|l: |c: | | | |c
|*1次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|^ |*記号表記 |*関数表記 |*(従属)変数表記 |^ |
|$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$ |$$ a_x , a_y $$|$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{a_x}{ 1 } $,$ \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|$$ x $ = $ \ffd{a_0}{-a_x} $ + $ \ffd{a_y}{-a_x} $ y $ + $ \ffd{-1 }{-a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- $ \ffd{a_y}{a_x} $,$ \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|$$ y $ = $ \ffd{a_0}{-a_y} $ + $ \ffd{-1 }{-a_y} $ z $ + $ \ffd{a_x}{-a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ak]- $ \ffd{a_x}{a_y} $$|
;,$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $ = $ \cdots $$の1次近似式から移項で作った式を利用した。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$と置いて$$ x $ = $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$のように近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならない。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$も$$ y $ = $ f(z,x) $$も$$ z $ = $ f(x,y) $$と全く同じであるため、値の計算では$$ z $ = $ f(x,y) $$だけを使えば良い。
;,重要なのは以下の4点:
- 移項のために「$$ \iro[ao]-$$」が生じること。
- 通常、関数を陽関数として1次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
- それを考慮すると、微分の値は2つの係数の除算で表現できる。
- 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ao]- $$」が残る。
//;,重要なのは以下の2点:
//- 移項のために「$$ \iro[ak]-$$」が生じること。
//- 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
//- 通常、関数を陽関数として1次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
//- それを考慮すると、微分の値は2つの係数の除算で表現できる。
このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ao]- $$」を正しく扱えられる。
;,重要なのは、移項のために「$$ \iro[ak]-$$」が生じること、
;,そして、両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ak]- $$」が残ること、以上2点。
;,このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。
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* 陽微分と陰微分 [#j99be0aa]
以上の結果を承けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。
- ''&color(#C00){陽微分};'': 関数の&color(#06F){独立変数};と&color(#C00){従属変数};に関する微分
- ''&color(#06F){陰微分};'': 関数の&color(#06F){独立変数};と&color(#06F){独立変数};に関する微分
- ''&color(#06F){陽微分};'': 関数の&color(#06F){従属変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
- ''&color(#C00){陰微分};'': 関数の&color(#C00){独立変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
;,そうすると、関数の一次近似式の係数で微分の値を表すとき、
;,&color(#C00){陽微分};には負号が付かず、&color(#06F){陰微分};には「$$ \iro[ao]- $$」が付く性質を持つ。
;,関数の一次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分を''&color(#C00){陰};&color(#06F){陽}''は「$$ \iro[ak]- $$」の''&color(#C00){有};&color(#06F){無};''に直結する。
- ''&color(#06F){陽微分};'': 「$$ \iro[kr]- $$」''&color(#06F){無し};''
- ''&color(#C00){陰微分};'': 「$$ \iro[ak]- $$」''&color(#C00){有り};''
//;,&color(#06F){陽微分};には負号が付かず、&color(#C00){陰微分};には「$$ \iro[ak]- $$」が付く。
;,高校では$$ y $ = $ f(x) $$のような1変数関数しか考えないため、自ずと陽微分になる。
;,したがって、''&color(#C00){陽微分};''は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''通常の微分''と言える。
;,これに対し、''&color(#06F){陰微分};''は大学で黙って登場するが、係数で書くと''「$$ \iro[ao]- $$」が付く新しい微分''と言える。
;,したがって、''&color(#06F){陽微分};''は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''&color(#06F){通常の微分};''と言える。
;,これに対し、''&color(#C00){陰微分};''は大学で黙って登場するが、係数で書くと''&color(#C00){「$$ \iro[ak]- $$」が付く新しい微分};''と言える。
;,陽微分で考えると、高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、
;,関数を$$ y $ = $ f(x) $$に関する2つの陽微分であり、約分できて、「$$ \iro[ao]- $$」が付かない、という結果になる。
;,高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、関数を$$ y $ = $ f(x) $$で考える場合、
;,2つの陽微分であるため「$$ \iro[ak]- $$」が付かず、そのまま約分可能という結果になっている。
#ceq(e)
$$ y $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{a_x}{a_y} $ \ffd{a_y}{a_x} $ = $ 1 $$
#ceq(end)
//;,約分の対象は近似式の係数であるが、「$$ \iro[ao]- $$」が付かないため$$ dy $$と$$ dx $$を消していると考えても通る。
//;,約分の対象は近似式の係数であるが、「$$ \iro[ak]- $$」が付かないため$$ dy $$と$$ dx $$を消していると考えても通る。
;,同様に、大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、
;,関数を$$ z $ = $ f(x,y) $$で考えると、1つの陰微分$$ \ppd{x}{y} $$と2つの陽微分$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{z}{x} $$の積であるため、
;,係数の約分は相変わらず成立し、符号には「$$ \iro[ao]- $$」が残る。
;,対して、大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、関数$$ z $ = $ f(x,y) $$で考える場合、
;,1つの陰微分$$ \ppd{x}{y} $$と2つの陽微分$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{z}{x} $$の積であるため、符号には「$$ \iro[ak]- $$」が付く。
;,ただし、係数の約分は相変わらず成立する。
#ceq(e)
$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ao]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \ffd{a_z}{a_y} $ \ffd{a_x}{a_z} $ = $ \iro[ao]- 1 $$
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \ffd{a_z}{a_y} $ \ffd{a_x}{a_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
勿論、$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰となる微分が変わるだけで、
1陰2陽の関係と結果は変わらない。
;,勿論、$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、1陰2陽の関係と結果は変わらない。
#ceq(e)
$$ x $ = $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_x}{b_y} $ \Big( \iro[ao]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{b_x}{b_z} $ = $ \iro[ao]- 1 $$
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_x}{b_y} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{b_x}{b_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(e)
$$ y $ = $ c_0 $ + $ c_z $ z $ + $ c_x $ x $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{c_x}{c_y} $ \ffd{c_z}{c_y} $ \Big( \iro[ao]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ao]- 1 $$
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{c_x}{c_y} $ \ffd{c_z}{c_y} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
%bodynote
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* 陰関数の陰微分とオイラーの連鎖式 [#o2dbdccd]
;,これまで、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$に対し、
;,$$ z $ = $ f(x,y) $$や$$ x = $ g(y,z) $$、$$ y $ = $ h(z,x) $$と好きな関数を置いて陰微分と陽微分を考えてきた。
;,$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$には関数記号が全く無いため、使った関数で結果が変わるようなことはない。
;,$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$自体は関数に依らないため、結果が関数に依らないのは当然である。
;,3つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を記述する関数に、次の陰関数というのもある
(($$ F $$が陰関数であるのに対し、上記$$ z $ = $ f(x,y) $$や$$ x = $ g(y,z) $$、$$ y $ = $ h(z,x) $$は陽関数と呼ばれる。))。
- 陰関数: $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$
;,もっとも、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$には従属変数と独立変数の区別も無く、対称的である。
;,このため、従属変数と独立変数を区別せず皆平等に扱う陰関数で考えた方が簡潔だったりする:
;,形式上、陰関数では全ての変数が独立変数と見なせるため、''&color(#06F){陰関数};の微分は全て&color(#06F){陰微分};''になる。
#ceq(e)
$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ao]- 1 $$
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
以上。
;,形式上、陰関数では全ての変数が独立変数と見なせるため、''&color(#C00){陰関数};の微分は全て&color(#C00){陰微分};''になる。
|*l:表2: $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$の1次近似と微分係数(参考)|<|<|<|<|<|h
|l: |l: |c: | | | |c
|> |*1次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*変数表記 |^ |
|> |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$ |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((関数値と等値関係にある変数は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$ |t=:
|tx: |$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$| | |$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$ |$$ \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx: |$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$| | |$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$ |$$ \iro[ao]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx: |$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$| | |$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$ |$$ \iro[ao]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ao]- \ffd{k_y}{k_z} $$|
|l: |l: |c: | | | |c
|> |*1次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*変数表記 |^ |
|> |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$ |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((陰関数$$ F $$と等値関係にある変数は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$ |t=:
|tx: |$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx: |$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx: |$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$|
%bodynote
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* まとめ・つなぎ [#cfdeff2d]
;,以上より、オイラーの連鎖式で登場する微分は、高校で習うと性質が異なる。
;,それも常微分と偏微分の違いによるものではなく、被微分変数と微分変数の関係が原因である。
;,それも常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係が原因である。
;,微分の基本である微分係数に立ち戻れば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。
;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、
;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
;,「微分から近似式の係数には簡単に変換でき、係数であれば約分できる」と教えて欲しい。
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