/オイラーの連鎖式
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 凌宮読取術：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$ [#j3ff5608]
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
#ceq(e)
オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
;,問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,一般的な証明
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直感的とは言えない。
;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$をそのまま消すから上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を約分も負号も問題なく処理できる。
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えて約分する：
#ceq(e)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$
$$ = $$
$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
$$ = $$
$$ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全てがタダの係数であるため、約分も符号処理も小学校レベルである。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 微分係数としての微分 [#d07f5765]
;,微分の捉え方の一つに、微分係数という考え方がある。
;,それは、関数の１次近似を考える際、得られる１次式の係数を微分と定義する方法である。
|*l:表１： $$ z $ = $ f(x,y) $$の１次近似と微分係数|<|<|<|<|h
|l: |c: | | | |c
|*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|^ |*記号表記 |*関数表記 |*(従属)変数表記 |^ |
|$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$ |$$ a_x , a_y $$|$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$ \ffd{a_x}{ 1 } $,$ \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|$$ x $ = $ \ffd{a_0}{-a_x} $ + $ \ffd{a_y}{-a_x} $ y $ + $ \ffd{-1 }{-a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- $ \ffd{a_y}{a_x} $,$ \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|$$ y $ = $ \ffd{a_0}{-a_y} $ + $ \ffd{-1 }{-a_y} $ z $ + $ \ffd{a_x}{-a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$ \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ak]- $ \ffd{a_x}{a_y} $$|
;,$$ \ppd{x}{y} $$や$$ \ppd{x}{z} $$を計算するのに、$$ z $ = $ \cdots $$の１次近似式から移項で作った式を利用した。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$と置いて$$ x $ = $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$のように近似しても良いが、記号が増えるだけで計算にならない。
;,$$ x $ = $ g(y,z) $$も$$ y $ = $ f(z,x) $$も$$ z $ = $ f(x,y) $$と全く同じであるため、値の計算では$$ z $ = $ f(x,y) $$だけを使えば良い。
//;,重要なのは以下の２点：
//- 移項のために「$$ \iro[ak]-$$」が生じること。
//- 両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
//- 通常、関数を陽関数として１次近似するとき、従属変数の係数を$$ 1 $$にしていること。
//- それを考慮すると、微分の値は２つの係数の除算で表現できる。
;,重要なのは、移項のために「$$ \iro[ak]-$$」が生じること、
;,そして、両方とも独立変数の場合に限り、「$$ \iro[ak]- $$」が残ること、以上２点。
;,このため、両方とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 陽微分と陰微分 [#j99be0aa]
以上の結果を承けて、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。
- ''&color(#06F){陽微分};''： 関数の&color(#06F){従属変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
- ''&color(#C00){陰微分};''： 関数の&color(#C00){独立変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
;,関数の一次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分を''&color(#C00){陰};&color(#06F){陽};''は「$$ \iro[ak]- $$」の''&color(#C00){有};&color(#06F){無};''に直結する。
- ''&color(#06F){陽微分};''： 「$$ \iro[kr]- $$」''&color(#06F){無し};''
- ''&color(#C00){陰微分};''： 「$$ \iro[ak]- $$」''&color(#C00){有り};''
//;,&color(#06F){陽微分};には負号が付かず、&color(#C00){陰微分};には「$$ \iro[ak]- $$」が付く。
//;,高校では$$ y $ = $ f(x) $$のような１変数関数しか考えないため、自ずと陽微分になる。
//;,したがって、''&color(#06F){陽微分};''は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''&color(#06F){通常の微分};''と言える。
//;,これに対し、''&color(#C00){陰微分};''は大学で黙って登場するが、係数で書くと''&color(#C00){「$$ \iro[ak]- $$」が付く新しい微分};''と言える。
//【訂正】高校でも陰関数は考える。
* $$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$の場合 [#t1b111fb]
;,高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、陽関数を$$ y $ = $ f(x) $$と陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y) $$で考えられる。
;,陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分であるため、「$$ \iro[ak]- $$」が付かず、そのまま約分可能となる。
;,その結果、$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見える。
#ceq(e)
$$ y $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{a_x}{a_y} $ \ffd{a_y}{a_x} $ = $ 1 $$
#ceq(end)
;,陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分であるため、「$$ \iro[ak]- $$」が２つ現れるが、打ち消して消える。
;,その結果、やはり$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見える。
#ceq(e)
$$ 0 $ = $ k_x $ x $ + $ a_y $ y $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ = $ 1 $$
#ceq(end)
* $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$の場合 [#x0f147ae]
;,他方、大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、関数$$ z $ = $ f(x,y) $$で考える場合、
;,１つの陰微分$$ \ppd{x}{y} $$と２つの陽微分$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{z}{x} $$の積であるため、符号には「$$ \iro[ak]- $$」が付く。
;,ただし、係数の約分は相変わらず成立する。
#ceq(e)
$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \ffd{a_z}{a_y} $ \ffd{a_x}{a_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,勿論、$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係と結果は変わらない。
#ceq(e)
$$ x $ = $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_x}{b_y} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{b_x}{b_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(e)
$$ y $ = $ c_0 $ + $ c_z $ z $ + $ c_x $ x $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{c_x}{c_y} $ \ffd{c_z}{c_y} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 陰関数の陰微分とオイラーの連鎖式 [#o2dbdccd]
;,これまで、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$に対し、
;,$$ z $ = $ f(x,y) $$や$$ x = $ g(y,z) $$、$$ y $ = $ h(z,x) $$と好きな関数を置いて陰微分と陽微分を考えてきた。
;,$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$自体は関数に依らないため、結果が関数に依らないのは当然である。
;,３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を記述する関数に、次の陰関数というのもある
(($$ F $$が陰関数であるのに対し、上記$$ z $ = $ f(x,y) $$や$$ x = $ g(y,z) $$、$$ y $ = $ h(z,x) $$は陽関数と呼ばれる。))。
- 陰関数： $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$
;,もっとも、$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$には従属変数と独立変数の区別も無く、対称的である。
;,このため、従属変数と独立変数を区別せず皆平等に扱う陰関数で考えた方が簡潔だったりする：
#ceq(e)
$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$
#ceq(q)
$$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
;,形式上、陰関数では全ての変数が独立変数と見なせるため、''&color(#C00){陰関数};の微分は全て&color(#C00){陰微分};''になる。
|*l:表２： $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）|<|<|<|<|<|h
|l: |l: |c: | | | |c
|> |*１次近似 |*微分係数 |< |< |*値 |
|> |^ |*記号表記 |*関数表記 |*変数表記 |^ |
|> |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$ |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((陰関数$$ F $$と等値関係にある変数は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$ |t=:
|tx: |$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx: |$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx: |$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$ |$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$|
%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
* まとめ・つなぎ [#cfdeff2d]
;,以上より、オイラーの連鎖式で登場する微分は、高校で習うと性質が異なる。
;,それも常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係が原因である。
;,微分の基本である微分係数に立ち戻れば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。
;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
;,「微分から近似式の係数には簡単に変換でき、係数であれば約分できる」と教えて欲しい。
////////////////////////////////////////////////////////////////
![[PukiWiki]](image/NekoPunch.png "[PukiWiki]")
