凌宮読取術：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1。

オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$

問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
一般的な証明*2*3は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直感的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て、$$ \partial x $$をそのまま消すから上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる原因を考えば、$$ \partial x $$を約分も負号も問題なく処理できる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えて約分する：

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$

$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルである。

*1 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

陰微分と陽微分 EditToHeaderToFooter

微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
例えば、関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$は１次式$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$と近似できるが、
変数$$ x $$と$$ y $$の前に付く$$ a_x $$と$$ a_y $$が各変数に対する微分係数で、それぞれが$$ z $$に対する$$ x $$と$$ y $$の微分となる。

一方で、$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。

表１： $$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$の１次近似と微分係数
１次近似微分係数値
係数表記関数表記変数表記
$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$$$ a_x , a_y $$$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{a_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{a_y}{ 1 } $$
$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$
$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$

ここで重要なのは、「$$ \iro[ak]- $$」は移項で発生するという因果関係である。
さらに、その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]- $$」つくのは別の独立変数となる。
このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。

そこで、凌宮数学では以下のように陽微分と陰微分を定義する。

  • 陰微分： 関数の独立変数と独立変数に関する微分*4
  • 陽微分： 関数の従属変数と独立変数に関する微分

そうすると、関数の一次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の陰陽で「$$ \iro[ak]- $$」の有無を判定できる。

  • 陰微分： 「$$ \iro[ak]- $$」有り
  • 陽微分： 「$$ \iro[kr]- $$」無し
*4 厳密に言うと「関数の同じ側にある変数間の微分」である。このため、ベクトル値関数の場合は従属変数間の微分も陰微分になる。

参考：$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$への適応 EditToHeaderToFooter

高校で習う$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$は、陽関数を$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$と陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。

陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。

$$ y $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$　　$$ \Rightarrow $$　　$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \ffd{a_x}{a_y} $$$$ \ffd{a_y}{a_x} $$$$ = $$$$ 1 $$

陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れるが、打ち消し合って消える。

$$ 0 $$$$ = $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$　　$$ \Rightarrow $$　　$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ = $$$$ 1 $$

どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくても計算はできた。

本題：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$への適応 EditToHeaderToFooter

大学で習う$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$は、陽関数$$ x $$$$ = $$$$ f(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ g(z,x) $$、$$ z $$$$ = $$$$ h(x,y) $$の３通りと、陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りで考えられる。

陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$で考える場合、
$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても「$$ \iro[ak]- $$」が残る。

$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ \approx $$$$ $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \ffd{a_z}{a_y} $$$$ \ffd{a_x}{a_z} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陽関数$$ x = $$$$ g(y,z) $$や$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。

$$ x $$$$ = $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{b_x}{b_y} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $$$$ \ffd{b_x}{b_z} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

$$ y $$$$ = $$$$ c_0 $$$$ + $$$$ c_z $$$$ z $$$$ + $$$$ c_x $$$$ x $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{c_x}{c_y} $$$$ \ffd{c_z}{c_y} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数の陰微分とオイラーの連鎖式 EditToHeaderToFooter

これまで、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$に対し、
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$や$$ x = $$$$ g(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$と好きな関数を置いて陰微分と陽微分を考えてきた。
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$自体は関数に依らないため、結果が関数に依らないのは当然である。

３つの変数$$ x $$、$$ y $$、$$ z $$の関係を記述する関数に、次の陰関数というのもある*5。

  • 陰関数： $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$

もっとも、$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$には従属変数と独立変数の区別も無く、対称的である。
このため、従属変数と独立変数を区別せず皆平等に扱う陰関数で考えた方が簡潔だったりする：

$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$

$$ \Rightarrow $$

$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

形式上、陰関数では全ての変数が独立変数と見なせるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。

表２： $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）
１次近似微分係数値
記号表記関数表記変数表記
$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{z} $$*6$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$
　$$ x $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_x} $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_x} $$$$ y $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$
　$$ y $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_y} $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_y} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$
　$$ z $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_z} $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_z} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_z} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$
*5 $$ F $$が陰関数であるのに対し、上記$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$や$$ x = $$$$ g(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$は陽関数と呼ばれる。
*6 陰関数$$ F $$と等値関係にある変数は無い

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter

以上より、オイラーの連鎖式で登場する微分は、高校で習うと性質が異なる。
それも常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係が原因である。
微分の基本である微分係数に立ち戻れば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
「微分から近似式の係数には簡単に変換でき、係数であれば約分できる」と教えて欲しい。
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