猫式読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する*1

オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$

問題は、もし右辺が$$ +1 $$ならば、恐らく誰もが「分子の$$ \partial x $$と分母の$$ \partial x $$が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、残念ながら$$ -1 $$である。

特に覚えにくくも無いが、直感的イメージできる方が楽である。

*1 熱力学や化学の分野では圧力$$ p $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{p}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p $$$$ \Big(\! \ppd{T}{p} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。

(1) 微分は１次近似 EditToHeaderToFooter

任意の１変数関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$について、各点$$ x $$において直線$$ y = a x + k $$で近似しようとするとき、係数$$ a $$$$ = $$$$ \ddd{y}{x} $$となる。これが微分値が微分係数と呼ばれる故でもある。

同様に、任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、直線の代わりに平面$$ z = ax + by + k $$で近似できる。この場合、$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$となる。

問題は、$$ ax = z - by $$と変形できるため、$$ \ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a} $$になる。$$ a $$と$$ b $$を代入すると、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y} $$になる。

したがって、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$に$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$と$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。

(2) 陰関数で対称性 EditToHeaderToFooter

$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$について、$$ y - f(x) = 0 $$と変形でき、左辺を纏めて$$ F(x, y) = 0 $$とおける。この関係では、$$ f(x) $$を陽関数、$$ F(x,y) $$を陰関数と呼ばれる。式の見た目では、陽関数は１つの変数だけを特別扱いするのに対し、陰関数では全ての変数について対照的な表記になっている。

陰関数で考える場合、１変数関数$$ F(x, y) = 0 $$の場合は$$ ax + by + k = 0 $$で近似することになる。その結果、$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_x $$となり、$$ \ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x} $$になる。

同様に、２変数関数$$ F(x, y, z) = 0 $$の場合は$$ ax + by + cz + k = 0 $$で近似することになる。

その結果、$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z} $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x} $$、$$ c $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y} $$となり、

$$ \Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}} $$、$$ \Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}} $$、$$ \Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}} $$になる。

したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。

まとめ：傾きの符号 EditToHeaderToFooter

(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。いずれも、微分の原点である１次近似という発想で手抜きしているが、最終的に関数に寄らずに恒等であるため結果は正しい。

ポイントは、(1)と(2)における「$$ \iro[ak]{-} $$」の現れるタイミングである。

陽関数の$$ z = f(x, y) $$も、陰関数の$$ 0 = F(x, y) $$も、ある意味では同じ形をしている。そこで、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$のように関数値を含む微分を陽的傾きと、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \ddd{x}{y} $$のように独立変数間の微分を陰的傾きと理解できる。

そして、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。これが一般的な傾きの感覚である。

対して、陰的傾きは形式的にマイナスの式になる。この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。

纏めて、$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$の意味は、

  1. ３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「$$ 1 $$」になる。
  2. 陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「$$ \iro[ak]{-} $$」が残る。
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