オイラーの連鎖式のバックアップの現在との差分(No.4)

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/オイラーの連鎖式
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* 猫式読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ [#j3ff5608]
* 凌宮読解術：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $ = $ \iro[ak]-1 $$ [#j3ff5608]
 
任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、
オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する
((熱力学や化学の分野では圧力$$ p $$、体積$$ V$$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{p}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p $ \Big(\! \ppd{T}{p} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
	#ceq(e)
    オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
 
;,問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,一般的な証明
  ((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
  ((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
  は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。

;,しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
;,$$ dx $$が約分できる結果だけ見て$$ \partial x $$をそのまま消すから、計算が上手く行かない。
;,$$ dx $$が約分できる仕組みを見て$$ \partial x $$を正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。

;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：
#ceq(e)
    オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$
    $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $$
    $$ = $$
    $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ak]-1 $$
#ceq(end)
$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。
 
問題は、もし右辺が$$ +1 $$ならば、恐らく誰もが「分子の$$ \partial x $$と分母の$$ \partial x $$が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、
残念ながら$$ -1 $$である。
 
特に覚えにくいワケではないが、導出には結構手間が掛かる
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]] or [[amazon.co.jp>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/462107055X/qid=1106898328/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/249-5923568-2223565]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))。
というわけで、直感的イメージできる方が式変形が楽である。
 
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*** (1) 微分は１次近似 [#z6455f0d]
 
任意の１変数関数$$ y $ = $ f(x) $$について、
各点$$ x $$において直線$$ y = a x + k $$で近似しようとするとき、
係数$$ a $ = $ \ddd{y}{x} $$となる。
これが微分値が微分係数と呼ばれる故でもある。
 
同様に、任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、直線の代わりに平面$$ z = ax + by + k $$で近似できる。
この場合、$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$、$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$となる。
 
ここで、近似平面は$$ ax = z - by $$に変形できるため、$$ \ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a} $$が得られる。
$$ a $$と$$ b $$を代入すると、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y} $$になる。
 
したがって、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$に$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$と$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$を掛け合わせると、
大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
 
* ''&color(#C00){陰微分};と''&color(#06F){陽微分}; [#b7a03ef5]

;,微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
;,例えば、関数$$ z $ = $ f(x,y) $$は１次式$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$と近似できるが、
;,変数$$ x $$と$$ y $$の係数$$ a_x $$と$$ a_y $$が微分係数で、それぞれが$$ z $$の偏微分$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$となる。

;,一方で、$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
;,例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
;,同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。

|*l:表１： $$ z $ = $ f(x,y) $$の１次近似と微分係数|<|<|<|<|h
|l:                                                                                                       |c:                      |                                     |                               |                                                           |c
|*１次近似                                                                                                |*微分係数               |<                                    |<                              |*値                                                        |
|^                                                                                                        |*係数表記               |*関数表記                            |*変数表記                      |^                                                          |
|$$ z $ = $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$                                                            |$$          a_x , a_y $$|$$          \ppd{f}{x},\ppd{f}{y}  $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$|$$           \ffd{a_x}{ 1 } $,$           \ffd{a_y}{ 1 } $$|t=:
|$$ x $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $ y $ + $ \ffd{         1  }{a_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$|$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $,$           \ffd{ 1 }{a_x} $$|
|$$ y $ = $ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $ + $ \ffd{          1 }{a_y} $ z $ + $ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$|$$           \ffd{ 1 }{a_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$|

;,ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]-$$」が発生することである。
;,その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]-$$」付くのは別の独立変数の項に限る。
;,このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。

;,そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 関数を&color(#C00){陰関数};と見なした&color(#C00){独立変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分
- ''&color(#06F){陽微分};''： 関数を&color(#06F){陽関数};と見なした&color(#06F){従属変数};と&color(#C00){独立変数};に関する微分

;,すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の''&color(#C00){陰};&color(#06F){陽};''で「$$ \iro[ak]- $$」の''&color(#C00){有};&color(#06F){無};''を判定できる。
- ''&color(#C00){陰微分};''： 「$$ \iro[ak]- $$」''&color(#C00){有り};''
- ''&color(#06F){陽微分};''： 「$$ \iro[kr]- $$」''&color(#06F){無し};''

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*** (2) 陰関数で対称性 [#t063aa63]
 
$$ y $ = $ f(x) $$について、$$ y - f(x) = 0 $$と変形でき、左辺を纏めて$$ F(x, y) = 0 $$とおける。
この関係では、$$ f(x) $$を陽関数、$$ F(x,y) $$を陰関数と呼ばれる。
式の見た目では、
陽関数は１つの変数を特別扱いするのに対し、
陰関数では全ての変数について対称的な表記になっている。
 
陰関数で考える場合、１変数関数$$ y = f(x) $$に対する陰関数$$ F(x, y) = 0 $$は$$ ax + by + k = 0 $$で近似することになる。
その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_x $$となり、
$$ \ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x} $$になる。
 
同様に、２変数関数$$ z = f(x, y) $$に対する陰関数$$ F(x, y, z) = 0 $$の場合は$$ ax + by + cz + k = 0 $$で近似することになる。
;:その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z} $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x} $$、
$$ c $ = $ \Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y} $$となり、
;:$$ \Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}} $$、
$$ \Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}} $$、
$$ \Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}} $$になる。
 
したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
 
* 参考：$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$への適応 [#t1b111fb]

;,高校で習う$$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ 1 $$は、陽関数$$ y $ = $ f(x) $$と陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。

;,陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。
#ceq(e)
  $$ y $ = $ f(x) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $$
  　　$$ \Rightarrow $$　　
  $$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \ffd{a_x}{1} $ \ffd{1}{a_x} $ = $ 1 $$
#ceq(end)

;,陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れては打ち消される。
#ceq(e)
  $$ 0 $ = $ F(x,y) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ a_y $ y $$
  　　$$ \Rightarrow $$　　
  $$ \ddd{y}{x} $ \ddd{x}{y} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ = $ 1 $$
#ceq(end)

;,どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。

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*** まとめ：傾きの符号 [#w9f06678]
 
(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。
 
ポイントは、(1)と(2)における「$$ \iro[ak]{-} $$」の現れるタイミングである。
 
陽関数の$$ z = f(x, y) $$も、陰関数の$$ 0 = F(x, y) $$も、ある意味では同じ形をしている。
ここでの陰陽とは関数値を変数として扱うかどうかの違いである。
そこで、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $ = $ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$のように関数値を含む微分を「''陽的な傾き''」と、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \ddd{x}{y} $$のように独立変数間の微分を「''陰的な傾き''」と、直感的に捕らえられる。
 
そうすると、まず、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。
これが一般的な傾きの感覚に一致する。
 
次に、陰的な傾きは形式的にマイナスの式になる。
この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。
 
纏めて、$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$の意味は、
+ ３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「$$ 1 $$」になる。
+ 陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「$$ \iro[ak]{-} $$」が残る。
 
* 本題：$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$への適応 [#x0f147ae]

;,大学で習う$$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ -1 $$は、
  陽関数$$ x $ = $ f(y,z) $$、$$ y $ = $ g(z,x) $$、$$ z $ = $ h(x,y) $$の３通りと、
;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りの考え方がある。

陽関数$$ z $ = $ f(x,y) $$で考える場合、
;,$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
#ceq(e)
  $$ z $ = $ f(x,y) $ \approx $ a_0 $ + $ a_x $ x $ + $ a_y $ y $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $ \ffd{1}{a_y} $ \ffd{a_x}{1} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)

;,陽関数$$ x = $ g(y,z) $$や$$ y $ = $ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。
#ceq(e)
  $$ x $ = $ g(y,z) $ \approx $ b_0 $ + $ b_y $ y $ + $ b_z $ z $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{b_y}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $ \ffd{1}{b_z} $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(e)
  $$ y $ = $ h(z,x) $ \approx $ c_0 $ + $ c_z $ z $ + $ c_x $ x $$
#ceq(q)
  $$ \Rightarrow $$
#ceq(q)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \ffd{1}{c_x} $ \ffd{c_z}{1} $ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)

;,陰関数$$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。
#ceq(e)
  $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $ \approx $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$
#ceq(c)
  　$$ \Rightarrow $$　
#ceq(c)
  $$ \ppd{x}{y} $ \ppd{y}{z} $ \ppd{z}{x} $ = $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $ = $ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)

;,陰関数では全ての変数が独立変数であるため、''&color(#C00){陰関数};の微分は全て&color(#C00){陰微分};''になる。
;,したがって、''陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽''である。

|*l:表２： $$ 0 $ = $ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）|<|<|<|<|<|h
|l:   |l:                                                                                |c:                       |                                              |                                           |                                                           |c
|>    |*１次近似                                                                         |*微分係数                |<                                             |<                                          |*値                                                        |
|>    |^                                                                                 |*記号表記                |*関数表記                                     |*変数表記                                  |^                                                          |
|>    |$$ 0 $ = $ k_0 $ + $ k_x $ x $ + $ k_y $ y $ + $ k_z $ z $$                       |$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$|$$ \ppd{F}{x} $,$ \ppd{F}{y} $,$ \ppd{F}{z} $$|((陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い))|$$ k_x $,$ k_y $,$ k_z $$                                  |t=:
|tx:　|$$ x $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_x} $ - $ \ffd{k_y}{k_x} $ y $ - $ \ffd{k_z}{k_x} $ z $$|$$ \iro[hi]{a_y, a_z}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}}          $$|$$ \ppd{x}{y} $,$ \ppd{x}{z} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$|
|tx:　|$$ y $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_y} $ - $ \ffd{k_z}{k_y} $ z $ - $ \ffd{k_x}{k_y} $ x $$|$$ \iro[hi]{b_y, b_z}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}}          $$|$$ \ppd{y}{z} $,$ \ppd{y}{x} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$|
|tx:　|$$ z $ = $ - $ \ffd{k_0}{k_z} $ - $ \ffd{k_x}{k_z} $ z $ - $ \ffd{k_y}{k_z} $ x $$|$$ \iro[hi]{c_z, c_x}  $$|$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}}          $$|$$ \ppd{z}{x} $,$ \ppd{z}{y} $$            |$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $,$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$|

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* まとめ・つなぎ [#cfdeff2d]
;,オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
;,しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
;,微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

;,「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
;,「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。

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オイラーの連鎖式 のバックアップの現在との差分(No.4)

オイラーの連鎖式のバックアップの現在との差分(No.4)
