猫式読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ EditToHeaderToFooter

凌宮読解術：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$ ⇒ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する*1
任意の２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*2。
オイラーの連鎖式： $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \iro[ak]-1 $$

問題は、$$ \partial x $$などを形式的に約分して$$ 1 $$と書きたいどころ、期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
一般的な証明 *3 *4 は式を色々弄ったら合ったようなもので、とても直観的とは言えない。

しかし、それだけで「偏微分は約分できない」と諦めるのは、まだ勿体ない。
$$ dx $$が約分できる結果だけ見て$$ \partial x $$をそのまま消すから、計算が上手く行かない。
$$ dx $$が約分できる仕組みを見て$$ \partial x $$を正しく読み替えると、約分も負号も直観的に考えられる。

凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替えてから約分する：

オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$ $$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$ $$ = $$ $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \!\Big) $$ $$ = $$ $$ \iro[ak]-1 $$

$$ k_x $$、$$ k_y $$、$$ k_z $$は全て普通の係数でしかないため、約分も符号処理も小学校レベルで済む。
問題は、もし右辺が$$ +1 $$ならば、恐らく誰もが「分子の$$ \partial x $$と分母の$$ \partial x $$が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、残念ながら$$ -1 $$である。特に覚えにくいワケではないが、導出には結構手間が掛かる*5*6。というわけで、直感的イメージできる方が式変形が楽である。
*1 熱力学や化学の分野では圧力$$ p $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{p}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p $$$$ \Big(\! \ppd{T}{p} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 熱力学や熱化学では結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*3 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*4 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形
*5 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分 or amazon.co.jp
*6 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

(1) 微分は１次近似 EditToHeaderToFooter

任意の１変数関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$について、各点$$ x $$において直線$$ y = a x + k $$で近似しようとするとき、係数$$ a $$$$ = $$$$ \ddd{y}{x} $$となる。これが微分値が微分係数と呼ばれる故でもある。同様に、任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、直線の代わりに平面$$ z = ax + by + k $$で近似できる。この場合、$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$となる。ここで、近似平面は$$ ax = z - by $$に変形できるため、$$ \ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a} $$が得られる。$$ a $$と$$ b $$を代入すると、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y} $$になる。したがって、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$に$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$と$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。

陰微分と陽微分 EditToHeaderToFooter


微分には「関数を１次近似した近似式の係数」すなわち微分係数という解釈がある。
例えば、関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$は１次式$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$と近似できるが、
変数$$ x $$と$$ y $$の係数$$ a_x $$と$$ a_y $$が微分係数で、それぞれが$$ z $$の偏微分$$ \ppd{z}{x} $$、$$ \ppd{z}{y} $$となる。

一方で、$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$から$$ x $$や$$ y $$につて解いた一次式からも微分係数が得られる。
例えば、$$ x $$について解いた式からは、$$ \ppd{x}{y} $$、$$ \ppd{x}{z} $$が得られる。
同様に、$$ y $$について解いた式からは、$$ \ppd{y}{z} $$、$$ \ppd{y}{x} $$が得られる。
表１： $$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$の１次近似と微分係数
１次近似微分係数値
係数表記関数表記変数表記
$$ z $$$$ = $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$$$ a_x , a_y $$$$ \ppd{f}{x},\ppd{f}{y} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \ffd{a_x}{ 1 } $$$$ , $$$$ \ffd{a_y}{ 1 } $$
$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_x} $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_y}{a_x} $$$$ y $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} $$$$ , $$$$ \ffd{ 1 }{a_x} $$
$$ y $$$$ = $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_0}{a_y} $$$$ + $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ z $$$$ + $$$$ \ffd{\iro[ak]-a_x}{a_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \ffd{ 1 }{a_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} $$

ここで重要なのは、移項で「$$ \iro[ak]- $$」が発生することである。
その移項は独立変数について解くためで、移項で「$$ \iro[ak]- $$」付くのは別の独立変数の項に限る。
このため、分母・分子とも独立変数の微分を見抜けば、「$$ \iro[ak]- $$」を正しく書ける。

そこで、凌宮数学では以下のように陰微分と陽微分を定義する。
  • 陰微分： 関数を陰関数と見なした独立変数と独立変数に関する微分
  • 陽微分： 関数を陽関数と見なした従属変数と独立変数に関する微分

すると、関数の１次近似式の係数で微分の値を表すとき、微分の陰陽で「$$ \iro[ak]- $$」の有無を判定できる。
  • 陰微分： 「$$ \iro[ak]- $$」有り
  • 陽微分： 「$$ \iro[kr]- $$」無し

(2) 陰関数で対称性 EditToHeaderToFooter

$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$について、$$ y - f(x) = 0 $$と変形でき、左辺を纏めて$$ F(x, y) = 0 $$とおける。この関係では、$$ f(x) $$を陽関数、$$ F(x,y) $$を陰関数と呼ばれる。式の見た目では、陽関数は１つの変数を特別扱いするのに対し、陰関数では全ての変数について対称的な表記になっている。陰関数で考える場合、１変数関数$$ y = f(x) $$に対する陰関数$$ F(x, y) = 0 $$は$$ ax + by + k = 0 $$で近似することになる。その結果、$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_x $$となり、$$ \ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x} $$になる。同様に、２変数関数$$ z = f(x, y) $$に対する陰関数$$ F(x, y, z) = 0 $$の場合は$$ ax + by + cz + k = 0 $$で近似することになる。

その結果、

$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z} $$、$$ b $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x} $$、$$ c $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y} $$となり、

$$ \Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}} $$、

$$ \Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}} $$、$$ \Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}} $$になる。したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。

参考：$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$への適応 EditToHeaderToFooter


高校で習う$$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ 1 $$は、陽関数$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$と陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$の２通りの考え方がある。

陽関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陽微分となり、陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が現れず、そのまま約分可能となる。
$$ y $$$$ = $$$$ f(x) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$ 　　$$ \Rightarrow $$　　 $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ \ffd{1}{a_x} $$$$ = $$$$ 1 $$

陰関数で考える場合、$$ \ddd{y}{x} $$も$$ \ddd{x}{y} $$も陰微分となり、陰陰で「$$ \iro[ak]- $$」は２つ現れては打ち消される。
$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$ 　　$$ \Rightarrow $$　　 $$ \ddd{y}{x} $$$$ \ddd{x}{y} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_x}{a_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ = $$$$ 1 $$

どちらの結果も$$ dx $$と$$ dy $$自体を約分しているように見えるため、符号を気にしなくとも計算できる。

まとめ：傾きの符号 EditToHeaderToFooter

(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。ポイントは、(1)と(2)における「$$ \iro[ak]{-} $$」の現れるタイミングである。陽関数の$$ z = f(x, y) $$も、陰関数の$$ 0 = F(x, y) $$も、ある意味では同じ形をしている。ここでの陰陽とは関数値を変数として扱うかどうかの違いである。そこで、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$のように関数値を含む微分を「陽的な傾き」と、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \ddd{x}{y} $$のように独立変数間の微分を「陰的な傾き」と、直感的に捕らえられる。そうすると、まず、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。これが一般的な傾きの感覚に一致する。次に、陰的な傾きは形式的にマイナスの式になる。この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。纏めて、$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$の意味は、
  1. ３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「$$ 1 $$」になる。
  2. 陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「$$ \iro[ak]{-} $$」が残る。

    本題：$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$への適応 EditToHeaderToFooter


大学で習う$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ -1 $$は、 陽関数$$ x $$$$ = $$$$ f(y,z) $$、$$ y $$$$ = $$$$ g(z,x) $$、$$ z $$$$ = $$$$ h(x,y) $$の３通りと、
陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$を合わせて計４通りの考え方がある。
陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$で考える場合、
$$ \ppd{x}{y} $$が陰微分、$$ \ppd{y}{z} $$と$$ \ppd{z}{x} $$が陽微分となり、係数を約分しても陰陽陽で「$$ \iro[ak]- $$」が残る。
$$ z $$$$ = $$$$ f(x,y) $$$$ \approx $$$$ a_0 $$$$ + $$$$ a_x $$$$ x $$$$ + $$$$ a_y $$$$ y $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{a_y}{a_x} \Big) $$$$ \ffd{1}{a_y} $$$$ \ffd{a_x}{1} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陽関数$$ x = $$$$ g(y,z) $$や$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$で考えても、陰になる微分が変わるだけで、１陰２陽の関係は変わらない。
$$ x $$$$ = $$$$ g(y,z) $$$$ \approx $$$$ b_0 $$$$ + $$$$ b_y $$$$ y $$$$ + $$$$ b_z $$$$ z $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{b_y}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{b_z}{b_y} \Big) $$$$ \ffd{1}{b_z} $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$
$$ y $$$$ = $$$$ h(z,x) $$$$ \approx $$$$ c_0 $$$$ + $$$$ c_z $$$$ z $$$$ + $$$$ c_x $$$$ x $$
$$ \Rightarrow $$
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{c_x} $$$$ \ffd{c_z}{1} $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{c_x}{c_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$で考える場合、陰陰陰と全て陰微分になるだけで、答えは変わらない。
$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$$$ \approx $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$
　$$ \Rightarrow $$　
$$ \ppd{x}{y} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ = $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} \Big) $$$$ \Big( \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} \Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陰関数では全ての変数が独立変数であるため、陰関数の微分は全て陰微分になる。
したがって、陰関数で考え、全ての微分を一律「$$ - $$」付きの陰微分として扱うのが楽である。
表２： $$ 0 $$$$ = $$$$ F(x,y,z) $$の１次近似と微分係数（参考）
１次近似微分係数値
記号表記関数表記変数表記
$$ 0 $$$$ = $$$$ k_0 $$$$ + $$$$ k_x $$$$ x $$$$ + $$$$ k_y $$$$ y $$$$ + $$$$ k_z $$$$ z $$$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$$$ \ppd{F}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{F}{z} $$*7$$ k_x $$$$ , $$$$ k_y $$$$ , $$$$ k_z $$
　$$ x $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_x} $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_x} $$$$ y $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_x} $$$$ z $$$$ \iro[hi]{a_y, a_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{f}{x},\ppd{f}{y}} $$$$ \ppd{x}{y} $$$$ , $$$$ \ppd{x}{z} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_x} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_x} $$
　$$ y $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_y} $$$$ - $$$$ \ffd{k_z}{k_y} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_y} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{b_y, b_z} $$$$ \iro[hi]{\ppd{g}{y},\ppd{g}{z}} $$$$ \ppd{y}{z} $$$$ , $$$$ \ppd{y}{x} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_z}{k_y} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_y} $$
　$$ z $$$$ = $$$$ - $$$$ \ffd{k_0}{k_z} $$$$ - $$$$ \ffd{k_x}{k_z} $$$$ z $$$$ - $$$$ \ffd{k_y}{k_z} $$$$ x $$$$ \iro[hi]{c_z, c_x} $$$$ \iro[hi]{\ppd{h}{z},\ppd{h}{x}} $$$$ \ppd{z}{x} $$$$ , $$$$ \ppd{z}{y} $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_x}{k_z} $$$$ , $$$$ \iro[ak]- \ffd{k_y}{k_z} $$
*7 陰関数では関数値$$ F $$と等値関係にある変数の表記は無い

まとめ・つなぎ EditToHeaderToFooter


オイラーの連鎖式の符号は、「偏微分が約分できない」の代名詞のように使われることがある。
しかし、それは常微分と偏微分の違いではなく、被微分変数と微分変数の関係の違いである。
微分の基本である微分係数に立ち戻って工夫をすれば、ちゃんと小学校レベルの約分になる。

「微分は分数ではないので約分できない」ではなく、「偏微分だから約分できない」でもなく、
「微分から近似式の係数に簡単に変換でき、係数であれば簡単に約分できる」と教えて欲しい。
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