/オイラーの連鎖式
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* 猫式読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ [#j3ff5608]
任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、
オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する
((熱力学や化学の分野では圧力$$ p $$、体積$$ V$$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{p}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_p $ \Big(\! \ppd{T}{p} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))
#ceq(e)
オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$
#ceq(end)
問題は、もし右辺が$$ +1 $$ならば、恐らく誰もが「分子の$$ \partial x $$と分母の$$ \partial x $$が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、
残念ながら$$ -1 $$である。
特に覚えにくいワケではないが、導出には結構手間が掛かる
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]] or [[amazon.co.jp>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/462107055X/qid=1106898328/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/249-5923568-2223565]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))。
というわけで、直感的イメージできる方が式変形が楽である。
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*** (1) 微分は１次近似 [#z6455f0d]
任意の１変数関数$$ y $ = $ f(x) $$について、
各点$$ x $$において直線$$ y = a x + k $$で近似しようとするとき、
係数$$ a $ = $ \ddd{y}{x} $$となる。
この微分係数というのが微分の根源である。
同様に、任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、直線の代わりに平面$$ z = ax + by + k $$で近似できる。
この場合、$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$、$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$となる。
ここで、近似平面は$$ ax = z - by $$に変形できるため、$$ \ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a} $$が得られる。
$$ a $$と$$ b $$を代入すると、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y} $$になる。
したがって、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$に$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$と$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$を掛け合わせると、
大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
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*** (2) 陰関数で対称性 [#t063aa63]
$$ y $ = $ f(x) $$について、$$ y - f(x) = 0 $$と変形でき、左辺を纏めて$$ F(x, y) = 0 $$とおける。
この関係では、$$ f(x) $$を陽関数、$$ F(x,y) $$を陰関数と呼ばれる。
式の見た目では、
陽関数は１つの変数を特別扱いするのに対し、
陰関数では全ての変数について対称的な表記になっている。
陰関数で考える場合、１変数関数$$ y = f(x) $$に対する陰関数$$ F(x, y) = 0 $$は$$ ax + by + k = 0 $$で近似することになる。
その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_x $$となり、
$$ \ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x} $$になる。
同様に、２変数関数$$ z = f(x, y) $$に対する陰関数$$ F(x, y, z) = 0 $$の場合は$$ ax + by + cz + k = 0 $$で近似することになる。
;:その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z} $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x} $$、
$$ c $ = $ \Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y} $$となり、
;:$$ \Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}} $$、
$$ \Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}} $$、
$$ \Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}} $$になる。
したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
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*** まとめ：傾きの符号 [#w9f06678]
(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。
ポイントは、(1)と(2)における「$$ \iro[ak]{-} $$」の現れるタイミングである。
陽関数の$$ z = f(x, y) $$も、陰関数の$$ 0 = F(x, y) $$も、ある意味では同じ形をしている。
ここでの陰陽とは関数値を変数として扱うかどうかの違いである。
そこで、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $ = $ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$のように関数値を含む微分を「''陽的な傾き''」と、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \ddd{x}{y} $$のように独立変数間の微分を「''陰的な傾き''」と、直感的に捕らえられる。
そうすると、まず、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。
これが一般的な傾きの感覚に一致する。
次に、陰的な傾きは形式的にマイナスの式になる。
この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。
纏めて、$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$の意味は、
+ ３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「$$ 1 $$」になる。
+ 陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「$$ \iro[ak]{-} $$」が残る。
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*** イメージ [#zdcf9531]
$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big) $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big) $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big) $$
⇒ $$ \Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{a}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{b}{c} \!\Big) $ \Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{c}{a} \!\Big) $$
⇒ $$ \iro[rd]{-} 1 $$
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