オイラーの連鎖式のバックアップ(No.8)

猫式読取術： $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1$

任意の２変数関数 $$ z = f(x, y) $$ について、オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する*1

オイラーの連鎖式： $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ $$ = $$ $$ -1 $$

問題は、もし右辺が $$ +1 $$ ならば、恐らく誰もが「分子の $\partial x$ と分母の $\partial x$ が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、残念ながら $$ -1 $$ である。

特に覚えにくいワケではないが、導出には結構手間が掛かる*2 *3。というわけで、直感的イメージできる方が式変形が楽である。

*1 熱力学や化学の分野では圧力 $$ P $$ 、体積 $$ V $$ 、温度 $$ T $$

を結ぶマクスウェルの規則 $\Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T$ $\Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P$ $\Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V$ $$ = $$ $$ -1 $$ の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分 or amazon.co.jp
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

(1) 微分は１次近似

任意の１変数関数 $$ y $$ $$ = $$ $$ f(x) $$ について、各点 $$ x $$ において直線 $$ y = a x + k $$ で近似しようとするとき、係数 $$ a $$ $$ = $$ $\ddd{y}{x}$ となる。この微分係数というのが微分の根源である。

同様に、任意の２変数関数 $$ z = f(x, y) $$ について、直線の代わりに平面 $$ z = ax + by + k $$ で近似できる。この場合、 $$ a $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$ 、 $$ b $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x$ となる。

ここで、近似平面は $$ ax = z - by $$ に変形できるため、 $\ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a}$ が得られる。 $$ a $$ と $$ b $$ を代入すると、 $\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y}$ になる。

したがって、 $\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z$ に $$ a $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$ と $$ b $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x$ を掛け合わせると、大きさが打ち消して $$ 1 $$ となり、 $\iro[ak]{-}$ が残る。

(2) 陰関数で対称性

$$ y $$ $$ = $$ $$ f(x) $$ について、 $$ y - f(x) = 0 $$ と変形でき、左辺を纏めて $$ F(x, y) = 0 $$ とおける。この関係では、が陽関数、 $$ F(x,y) $$ が陰関数と呼ばれる。式の見た目では、陽関数は１つの変数を特別扱いするのに対し、陰関数では全ての変数について対称的な表記になっている。

陰関数で考える場合、１変数関数 $$ y = f(x) $$ に対する陰関数 $$ F(x, y) = 0 $$ は $$ ax + by + k = 0 $$ で近似することになる。その結果、 $$ a $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y$ 、 $$ b $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x$ となり、 $\ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x}$ になる。

同様に、２変数関数 $$ z = f(x, y) $$ に対する陰関数 $$ F(x, y, z) = 0 $$ の場合は $$ ax + by + cz + k = 0 $$ で近似することになる。

その結果、 $$ a $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}$ 、 $$ b $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}$ 、 $$ c $$ $$ = $$ $\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}$ となり、

$\Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}$ 、 $\Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}$ 、 $\Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}$ になる。

したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して $$ 1 $$ となり、 $\iro[ak]{-}$ が残る。

まとめ：傾きの符号

(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。

ポイントは、(1)と(2)における「 $\iro[ak]{-}$ 」の現れるタイミングである。

陽関数の $$ z = f(x, y) $$ も、陰関数の $$ 0 = F(x, y) $$ も、ある意味では同じ形をしている。ここでの陰陽とは関数値を変数として扱うかどうかの違いである。そこで、 $\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y$ $$ = $$ $\Big( \ppd{f}{x} \Big)_y$ や $\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y$ のように関数値を含む微分を「陽的な傾き」と、 $\Big( \ppd{x}{y} \Big)_z$ や $\ddd{x}{y}$ のように独立変数間の微分を「陰的な傾き」と、直感的に捕らえられる。

そうすると、まず、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。これが一般的な傾きの感覚に一致する。

次に、陰的な傾きは形式的にマイナスの式になる。この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。

纏めて、 $\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y$ の意味は、

３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「」になる。
陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「 $\iro[ak]{-}$ 」が残る。

イメージ

$\Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)$ $\Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)$ $\Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)$ ＝ $\iro[rd]{-} 1$ 　⇒ $\Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{a}{b} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{b}{c} \!\Big)$ $\Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{c}{a} \!\Big)$ ＝ $\iro[rd]{-} 1$