凌宮読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ EditToHeaderToFooter

任意の２変数関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する*1。

オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$

問題は、$$ \partial x $$などが分子・分母で打ち消して$$ +1 $$になるところで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
しかし、そこを「約分できない」だけで終わらせてしまっては、本当に微分から先が全て終わってしまう。
オイラーの連鎖式の一般的な証明*2*3は式を弄ったら合ったレベルの複雑さで、簡単に理解できるモノではない。

これに対し、微分の読み方を少し変えるだけで、約分もできて、$$ -1 $$も自然にでるようになる。
凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

*1 熱力学や熱化学の分野では圧力$$ P $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$の形で学ぶことになる。
*2 参考：熱学の基礎/微分公式/偏微分
*3 参考：EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形

基礎知識 EditToHeaderToFooter

オイラーの連鎖式の符号を理解するには、「$$ \iro[ak]- $$」の付かない陽微分と付く陰微分を見分けるのが一番早い。
その為に、陽関数と陰関数を理解する必要がある。

陽関数と陰関数 EditToHeaderToFooter

関数には陽関数と陰関数の２つの使い方がある。
例えば、２変数関数$$ f(x, y) $$について考えると、

  • 陽関数：　関数を$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$のように関数値を変数に入れて使う
  • 陰関数：　関数を$$ 0 $$$$ = $$$$ f(x, y) $$のように関数値を定数に縛って使う

陽関数の文脈では区別のため、関数の入力側の変数を独立変数、出力側の変数を従属変数と呼ぶ*4。
すると、陽関数は独立変数と従属変数の関係を、陰関数は独立変数間の関係を記述する使い方と言える。

*4 $$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の例では、$$ x $$と$$ y $$が$$ f $$の独立変数、$$ z $$が$$ f $$の従属変数になる。

陽微分と陰微分 EditToHeaderToFooter

凌宮数学では、陽関数と陰関数に似せて陽微分と陰微分という２種類の微分を区別する。

  • 陽微分：　関数の独立変数と従属変数を結ぶ微分
  • 陰微分：　関数の独立変数間を結ぶ微分

例えば、陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{x}{z} \Big)_y $$が陽微分になる。
一方で、陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \Big( \ppd{y}{x} \Big)_z $$が陰微分になる。
ただし、陽関数でも、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ f $$を陰関数扱い*5にした陰微分になる。
対して、陰関数には独立変数が存在しないため、陰関数の陽微分は存在しない。

２変数関数$$ f(x, y) $$は一般的に$$ f(x, y) $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$で一次近似できる。
ここで、$$ a $$と$$ b $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$に対応する係数で、$$ k $$は定数項である。
そして、$$ a $$を$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$、$$ b $$を$$ \Big( \ppd{f}{y} \Big)_x $$と書くのが微分係数としての微分である。

陽関数の文脈では、$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$の一次近似が$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$になり、
微分係数を$$ a $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$$$ = $$$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$のように関数値の代わりに従属変数で書くことができる。
このため、陽微分は微分係数ということになる。

一方で、陰微分は$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$を変形して求める必要がある。
例えば、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ x $$$$ = $$$$ \ffd{z}{a} \iro[ak]- \ffd{b}{a}y \iro[ak]- \ffd{k}{a} $$にしてから、$$ y $$の係数を取って$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$$$ = $$$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$と求まる。
このように、陰微分は２つの微分係数の割り算に「$$ \iro[ak]- $$」が付いた値になる。

重要なので、強調しながら纏めると、
陽微分は高校からならう微分係数そのもので、いわゆる通常の微分である。
陰微分は大学で黙って登場するが、通常の微分と違って、係数で書くと「$$ \iro[ak]- $$」が付く性質を持つ*6。

*5 偏微分の定義から$$ z $$を定数と見なすため、陽関数$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$でも陰関数$$ 0 $$$$ = $$$$ f(x, y) $$と同じになる。
*6 この「$$ \iro[ak]- $$」の付く・付かない性質が、陰微分・陽微分と名付けた本来の理由である。

陰関数のオイラーの連鎖式 EditToHeaderToFooter

オイラーの連鎖式$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ -1 $$自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。

オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：

式１：　$$ 0 $$$$ = $$$$ F(x, y, z) $$

この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て陰微分で、掛け合わせると
　　・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が３つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と合わせて$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。

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具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式１を１次近似すると：

$$ 0 $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ c $$$$ z $$$$ + $$$$ k $$

次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「$$ \iro[ak]- $$」を付ければ完成：

$$ \ffd{x}{y} $$$$ \Rightarrow $$$$ \ffd{a}{b} $$$$ \clap{\nearrow}{\searrow} $$$$ \ffd{b}{a} $$$$ \Rightarrow $$$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$

このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：

微分種類値
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$陰関数$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{b}{a} $$
$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{c}{b} $$
$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{a}{c} $$

したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$

陽関数のオイラーの連鎖式（参考） EditToHeaderToFooter

陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
物理学や工学で扱う方程式*7の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。

オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：

式２：　$$ z $$$$ = $$$$ f(x, y) $$

この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、$$ z $$を含む２つが陽微分で、残り１つが陰微分であるのが分かる。
したがって、これらを掛け合わせると
　　・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が１つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
と$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。

*7 例：　理想気体の状態方程式$$ PV = nRT $$　……　マクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $$$$ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $$$$ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $$$$ = $$$$ -1 $$

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具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

まず、式３を１次近似すると：

$$ z $$$$ = $$$$ a $$$$ x $$$$ + $$$$ b $$$$ y $$$$ + $$$$ k $$

次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：

  • $$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$：　これは陰微分のため、前節同様$$ \iro[ak]- $$$$ \ffd{b}{a} $$になる。
  • $$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$：　これは陽微分だが、従属変数$$ z $$が下に居るため、微分係数の逆数$$ \ffd{1}{b} $$になる。
  • $$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$：　これも陽微分で、普通に微分係数$$ a $$そのものになる。

以上の結果を表に纏めると：

微分種類値
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$陰微分$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$
$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$陽微分$$ \iro[ai]+ \ffd{1}{b} $$
$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$$$ \iro[ai]+ {\,a\,} $$

したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $$$$ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $$$$ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$$$ = $$$$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ai]+ \ffd{1}{b} \!\Big) $$$$ \Big(\! \iro[ai]+{\,a\,} \!\Big) $$$$ = $$$$ \iro[ak]- 1 $$
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