オイラーの連鎖式のバックアップ差分(No.9)

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/オイラーの連鎖式
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* 猫式読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ [#j3ff5608]
* 凌宮読取術：$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y = -1 $$ [#j3ff5608]
 
任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、
オイラーの連鎖式と呼ばれる対称性の良い恒等式が成立する
((熱力学や化学の分野では圧力$$ P $$、体積$$ V$$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))
;,任意の２変数関数$$ z $ = $ f(x, y) $$について、オイラーの連鎖式と呼ばれる恒等式が成立する
((熱力学や熱化学の分野では圧力$$ P $$、体積$$ V $$、温度$$ T $$を結ぶマクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$の形で学ぶことになる。))。
#ceq(e)
    オイラーの連鎖式： $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$
#ceq(end)
 
問題は、もし右辺が$$ +1 $$ならば、恐らく誰もが「分子の$$ \partial x $$と分母の$$ \partial x $$が打ち消して…」と簡単に納得できるところ、
残念ながら$$ -1 $$である。
;,問題は、$$ \partial x $$などが分子・分母で打ち消して$$ +1 $$になるところで、そんな期待を裏切る$$ \iro[ak]-1 $$である。
;,しかし、そこを「約分できない」だけで終わらせてしまっては、本当に微分から先が全て終わってしまう。
;,オイラーの連鎖式の一般的な証明
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))
は式を弄ったら合ったレベルの複雑さで、簡単に理解できるモノではない。

;,これに対し、微分の読み方を少し変えるだけで、約分もできて、$$ -1 $$も自然にでるようになる。
;,凌宮数学では、オイラーの連鎖式は以下のように読み替える：
#ceq(e)
    $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
    $$ = $$
    $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)
 
特に覚えにくいワケではないが、導出には結構手間が掛かる
((参考：[[熱学の基礎/微分公式/偏微分>http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node18.html]] or [[amazon.co.jp>http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/462107055X/qid=1106898328/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl/249-5923568-2223565]]))
((参考：[[EMANの物理学/熱力学/状態方程式の微分形>http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html#maxwell]]))。
というわけで、直感的イメージできる方が式変形が楽である。
 
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*** (1) 微分は１次近似 [#z6455f0d]
* 基礎知識 [#f308f575]

;,オイラーの連鎖式の符号を理解するには、「$$ \iro[ak]- $$」の付かない陽微分と付く陰微分を見分けるのが一番早い。
;,その為に、陽関数と陰関数を理解する必要がある。
 
任意の１変数関数$$ y $ = $ f(x) $$について、
各点$$ x $$において直線$$ y = a x + k $$で近似しようとするとき、
係数$$ a $ = $ \ddd{y}{x} $$となる。
この微分係数というのが微分の根源である。
 
同様に、任意の２変数関数$$ z = f(x, y) $$について、直線の代わりに平面$$ z = ax + by + k $$で近似できる。
この場合、$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$、$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$となる。
 
ここで、近似平面は$$ ax = z - by $$に変形できるため、$$ \ppd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{b}{a} $$が得られる。
$$ a $$と$$ b $$を代入すると、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{z}{y} \Big)_x}{\Big( \ppd{z}{x} \Big)_y} $$になる。
 
したがって、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$に$$ a $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$と$$ b $ = $ \Big( \ppd{z}{y} \Big)_x $$を掛け合わせると、
大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
 
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*** (2) 陰関数で対称性 [#t063aa63]
 
$$ y $ = $ f(x) $$について、$$ y - f(x) = 0 $$と変形でき、左辺を纏めて$$ F(x, y) = 0 $$とおける。
この関係では、$$ f(x) $$が陽関数、$$ F(x,y) $$が陰関数と呼ばれる。
式の見た目では、
陽関数は１つの変数を特別扱いするのに対し、
陰関数では全ての変数について対称的な表記になっている。
 
陰関数で考える場合、１変数関数$$ y = f(x) $$に対する陰関数$$ F(x, y) = 0 $$は$$ ax + by + k = 0 $$で近似することになる。
その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_x $$となり、
$$ \ddd{x}{y} = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_y}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_x} $$になる。
 
同様に、２変数関数$$ z = f(x, y) $$に対する陰関数$$ F(x, y, z) = 0 $$の場合は$$ ax + by + cz + k = 0 $$で近似することになる。
;:その結果、
$$ a $ = $ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z} $$、
$$ b $ = $ \Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x} $$、
$$ c $ = $ \Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y} $$となり、
;:$$ \Big( \ddd{x}{y} \Big)_z = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}}{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}} $$、
$$ \Big( \ddd{y}{z} \Big)_x = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{y} \Big)_{z,x}}{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}} $$、
$$ \Big( \ddd{z}{x} \Big)_y = \iro[ak]{-} \ffd{\Big( \ppd{F}{z} \Big)_{x,y}}{\Big( \ppd{F}{x} \Big)_{y,z}} $$になる。
 
したがって、３つの偏微分を掛け合わせると、大きさが打ち消して$$ 1 $$となり、$$ \iro[ak]{-} $$が残る。
 
** 陽関数と陰関数 [#ffe3f2a9]

;,関数には陽関数と陰関数の２つの使い方がある。
;,例えば、２変数関数$$ f(x, y) $$について考えると、
- &color(#00F){''陽関数''};：　関数を$$ z $ = $ f(x, y) $$のように関数値を変数に入れて使う
- &color(#C00){''陰関数''};：　関数を$$ 0 $ = $ f(x, y) $$のように関数値を定数に縛って使う

;,陽関数の文脈では区別のため、関数の入力側の変数を''独立変数''、出力側の変数を''従属変数''と呼ぶ
  (($$ z $ = $ f(x, y) $$の例では、$$ x $$と$$ y $$が$$ f $$の独立変数、$$ z $$が$$ f $$の従属変数になる。))。
;,すると、陽関数は独立変数と従属変数の関係を、陰関数は独立変数間の関係を記述する使い方と言える。

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*** まとめ：傾きの符号 [#w9f06678]
** 陽微分と陰微分 [#f639216c]
 
(1) は陽関数、(2)は陰関数で考えてきた。
 
ポイントは、(1)と(2)における「$$ \iro[ak]{-} $$」の現れるタイミングである。
 
陽関数の$$ z = f(x, y) $$も、陰関数の$$ 0 = F(x, y) $$も、ある意味では同じ形をしている。
ここでの陰陽とは関数値を変数として扱うかどうかの違いである。
そこで、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $ = $ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{F}{x} \Big)_y $$のように関数値を含む微分を「''陽的な傾き''」と、
$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \ddd{x}{y} $$のように独立変数間の微分を「''陰的な傾き''」と、直感的に捕らえられる。
 
そうすると、まず、陽的傾きは形式的にプラスの式になる。
これが一般的な傾きの感覚に一致する。
 
次に、陰的な傾きは形式的にマイナスの式になる。
この感覚があれば、オイラーの連鎖式は直感的に理解できるようになる。
 
纏めて、$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$の意味は、
+ ３つの傾きは、大きさが打ち消し合って「$$ 1 $$」になる。
+ 陰的な傾きを奇数個掛け合わせるため「$$ \iro[ak]{-} $$」が残る。
;,凌宮数学では、陽関数と陰関数に似せて陽微分と陰微分という２種類の微分を区別する。
- &color(#00F){''陽微分''};：　関数の独立変数と従属変数を結ぶ微分
- &color(#C00){''陰微分''};：　関数の独立変数間を結ぶ微分

;,例えば、&color(#00F){陽関数};$$ z $ = $ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$や$$ \Big( \ppd{x}{z} \Big)_y $$が&color(#00F){陽微分};になる。
;,一方で、&color(#C00){陰関数};$$ 0 $ = $ f(x, y) $$の例では、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$や$$ \Big( \ppd{y}{x} \Big)_z $$が&color(#C00){陰微分};になる。
;,ただし、&color(#00F){陽関数};でも、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ f $$を&color(#C00){陰関数};扱い
  ((偏微分の定義から$$ z $$を定数と見なすため、陽関数$$ z $ = $ f(x, y) $$でも陰関数$$ 0 $ = $ f(x, y) $$と同じになる。))にした&color(#C00){陰微分};になる。
;,対して、&color(#C00){陰関数};には独立変数が存在しないため、&color(#C00){陰関数};の&color(#00F){陽微分};は存在しない。

;,２変数関数$$ f(x, y) $$は一般的に$$ f(x, y) $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$で一次近似できる。
;,ここで、$$ a $$と$$ b $$はそれぞれ$$ x $$と$$ y $$に対応する係数で、$$ k $$は定数項である。
;,そして、$$ a $$を$$ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $$、$$ b $$を$$ \Big( \ppd{f}{y} \Big)_x $$と書くのが微分係数としての微分である。

;,&color(#00F){陽関数};の文脈では、$$ z $ = $ f(x, y) $$の一次近似が$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$になり、
;,微分係数を$$ a $ = $ \Big( \ppd{f}{x} \Big)_y $ = $ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$のように関数値の代わりに従属変数で書くことができる。
;,このため、&color(#00F){陽微分};は微分係数ということになる。

;,一方で、&color(#C00){陰微分};は$$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$を変形して求める必要がある。
;,例えば、$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$は$$ x $ = $ \ffd{z}{a} \iro[ak]- \ffd{b}{a}y \iro[ak]- \ffd{k}{a} $$にしてから、
  $$ y $$の係数を取って$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $ = $ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$と求まる。
;,このように、''&color(#C00){陰微分};は２つの微分係数の割り算に「$$ \iro[ak]- $$」が付いた値''になる。

;,重要なので、強調しながら纏めると、
;,''&color(#00F){陽微分};は''高校からならう微分係数そのもので、いわゆる''通常の微分''である。
;,''&color(#C00){陰微分};は''大学で黙って登場するが、通常の微分と違って、係数で書くと''「$$ \iro[ak]- $$」が付く''性質を持つ
  ((この「$$ \iro[ak]- $$」の付く・付かない性質が、陰微分・陽微分と名付けた本来の理由である。))。

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*** イメージ [#zdcf9531]
* 陰関数のオイラーの連鎖式 [#t0b35779]

$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big) $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big) $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big) $$
;. ＝ $$ \iro[rd]{-} 1 $$
;.　⇒ $$ \Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{a}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[rd]{-} \ffd{b}{c} \!\Big) $ \Big(\!  \iro[rd]{-} \ffd{c}{a} \!\Big) $$
;. ＝ $$ \iro[rd]{-} 1 $$
;,オイラーの連鎖式$$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $ = $ -1 $$自体は陽関数でも陰関数でも成り立つ。
;,そこで、陰関数では全ての変数を平等に扱うため、対称性の良いオイラーの連鎖式を考えるには都合が良い。
;,このため、まず本節で陰関数のオイラーの連鎖式を説明してから、次節で参考として陽関数のオイラーの連鎖式を説明する。

;,オイラーの連鎖式は３つの変数に関する公式であるため、陰関数で考える場合は３変数関数で考える必要がある：
#ceq(e)
    式１：　$$ 0 $ = $ F(x, y, z) $$
#ceq(end)

;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分が全て&color(#C00){陰微分};で、掛け合わせると
;,　　・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が３つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
;,　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と合わせて$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。

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*** [#yc8d9e40]

;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

;,まず、式１を１次近似すると：
#ceq(e)
    $$ 0 $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ c $ z $ + $ k $$
#ceq(end)

;,次に、真面目に計算しても良いが、以下のように対応する係数を逆さに書いて、「$$ \iro[ak]- $$」を付ければ完成：
#ceq(e)
    $$ \ffd{x}{y} $ \Rightarrow $ \ffd{a}{b} $ \clap{\nearrow}{\searrow} $ \ffd{b}{a} $ \Rightarrow $ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$
#ceq(end)

;,このように作るオイラーの連鎖式に現われる３つの微分を表に纏めると：
#ceq(e)
    |*微分                         |*種類                 |*値                         |
    |$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰関数};|$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$|
    |$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$|^                     |$$ \iro[ak]- $ \ffd{c}{b} $$|
    |$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^                     |$$ \iro[ak]- $ \ffd{a}{c} $$|
#ceq(end)

;,したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
    $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
    $$ = $$
    $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{c}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{a}{c} \!\Big) $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)

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* 陽関数のオイラーの連鎖式（参考） [#mcae21ed]

;,陰関数で考えた方が例外が少なくて楽だが、
;,物理学や工学で扱う方程式
  ((例：　理想気体の状態方程式$$ PV = nRT $$　……　マクスウェルの規則$$ \Big(\! \ppd{P}{V} \!\Big)_T $ \Big(\! \ppd{V}{T} \!\Big)_P $ \Big(\! \ppd{T}{P} \!\Big)_V $ = $ -1 $$))
  の多くが陽関数になるため、参考として陽関数での読み方を説明する。

;,オイラーの連鎖式は３つの変数についての公式であるが、陽関数で考える場合は１つを従属変数にするため、２変数関数で済む：
#ceq(e)
    式２：　$$ z $ = $ f(x, y) $$
#ceq(end)

;,この時点で、オイラーの連鎖式に登場する３つの微分の内、$$ z $$を含む２つが&color(#00F){陽微分};で、残り１つが&color(#C00){陰微分};であるのが分かる。
;,したがって、これらを掛け合わせると
;,　　・ 符号が「$$ \iro[ak]- $$」が１つで「$$ \iro[ak]- $$」に、
;,　　・ 大きさが分母・分子で打ち合わせて１に、
;,と$$ \iro[ak]- 1 $$なるのが容易に予想できる。

%bodynote
*** [#e2bb916d]

;,具体的にオイラーの連鎖式を１次近似の係数で読み替えると以下のようになる。

;,まず、式３を１次近似すると：
#ceq(e)
    $$ z $ = $ a $ x $ + $ b $ y $ + $ k $$
#ceq(end)

;,次は計算になるが、陽関数のため３パターンに増える：
- $$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$：　これは&color(#C00){陰微分};のため、前節同様$$ \iro[ak]- $ \ffd{b}{a} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$：　これは&color(#00F){陽微分};だが、従属変数$$ z $$が下に居るため、微分係数の逆数$$ \ffd{1}{b} $$になる。
- $$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$：　これも&color(#00F){陽微分};で、普通に微分係数$$ a $$そのものになる。

;,以上の結果を表に纏めると：
#ceq(e)
    |*微分                         |*種類                 |*値                       |
    |$$ \Big( \ppd{x}{y} \Big)_z $$| &color(#C00){陰微分};|$$ \iro[ak]- \ffd{b}{a} $$|
    |$$ \Big( \ppd{y}{z} \Big)_x $$| &color(#00F){陽微分};|$$ \iro[ai]+ \ffd{1}{b} $$|
    |$$ \Big( \ppd{z}{x} \Big)_y $$|^                     |$$ \iro[ai]+   {\,a\,}  $$|
#ceq(end)

したがって、陰関数のオイラーの連鎖式は以下のように読み替えできる：
#ceq(e)
    $$ \Big(\! \ppd{x}{y} \!\Big)_z $ \Big(\! \ppd{y}{z} \!\Big)_x $ \Big(\! \ppd{z}{x} \!\Big)_y $$
    $$ = $$
    $$ \Big(\! \iro[ak]- \ffd{b}{a} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ai]+ \ffd{1}{b} \!\Big) $ \Big(\! \iro[ai]+{\,a\,} \!\Big) $$
    $$ = $$
    $$ \iro[ak]- 1 $$
#ceq(end)

%bodynote
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オイラーの連鎖式 のバックアップ差分(No.9)

オイラーの連鎖式のバックアップ差分(No.9)
