ベクトル三重積公式/ベクトル三重積公式の補足 のバックアップ差分(No.1)

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  • 1 (2015.0315 (日) 1631.3700)

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* 参考： 少し古い符号判定（〜2014年） [#f58fee1c]
ベクトル三重積公式の左辺には２つの書き方があり、掛け方によって符号が逆転する。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(e)
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)

;,この符号は外積の回転方向を２回も考える必要がある。
;,３次元空間でぐるぐる回るのは結構面倒なので、便宜的な手法ではあるが２次元で済ませたい。
;,さらに、三重積は任意のベクトルで成立するため、次の２つの条件を満たす単純な例で済ませたい。
- 先に掛け合わせるベクトルが互いに垂直
  ((やっていることは$$ \:B \:C $$平面上のベクトルの成分分解であるため、斜交座標より直交座標系を使う方が直角が多くて簡単。))
- 後に掛け加えるベクトルが前の片方と同じ向き
  (($$ \:A $$は空間上に浮いても、$$ \:B \:C $$平面上の成分しか外積の結果に影響を与えないため、$$ \:B \:C $$平面上に乗せても結果は同じ。))
  ((重ねることにより考える成分が１つ減るため、楽が出来る。片方の符号が決まれば他方も決まるため、１成分の符号だけ分れば十分。))

;,論はないが証拠、これで（片方の）符号が分る：
|&attachref(./符号判定Ax(BxC).png,35%,left,around);|*
|&attachref(./符号判定(AxB)xC.png,35%,left,around);|

;.$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$について、
;.まず$$ \iro[md]{\:B} $$に$$ \iro[md]{\:C} $$を''右から''掛けて、$$ \iro[ao]{\:A} $$を''左から''掛ける。
;,ポイントは掛ける向きが逆であるため、向きが打ち消して元の$$ \iro[md]{\:B} $$の向きになる。
;,したがって、$$ \iro[md]{\:B} $$の符号は「$$ + $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:C} $$には逆の「$$ - $$」が付く。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)

;.$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$について、
;.まず$$ \iro[md]{\:A} $$に$$ \iro[md]{\:B} $$を''右から''掛けて、$$ \iro[ao]{\:C} $$をさらに''右から''掛ける。
;,ポイントは掛ける向きが同じであるため、そのまま回し続けて$$ \iro[md]{\:B} $$と逆の向きになる。
;,したがって、$$ \iro[md]{\:A} $$の符号は「$$ - $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:B} $$には逆の「$$ + $$」が付く。
#ceq(e)
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)