ベクトル三重積公式のバックアップ(No.3)

$\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

準備：ベクトル三重積の性質： $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ が同一平面上にある。

(1) $\:B \vx \:C \perp \:B, \:C$

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外積の性質その１：。
$\:B$ と $\:C$ の外積は、 $\:B$ と $\:C$ の両方に垂直、
別の言い方をすれば $\:B$ と $\:C$ を含む平面に垂直。

(2) $\:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C)$

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外積の性質その２：外積は垂直成分しか見ない。
$\:B \vx \:C$ と外積を取るなら、 $\:B \vx \:C$ に垂直な成分しか意味ない。

さらに、(1)と合わせて、 $\:B \vx \:C \perp \:B, \:C, \:A_{\perp}$ より、
$\:A_{\perp}$ は $\:B$ と $\:C$ と同じ平面上にある。

(3) $\:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:A_{\perp}, \:B \vx \:C$

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(1)と同じ理屈で、上式が成り立つ。

ここで、 $\:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:B \vx \:C$ より、
$\:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C)$ 、 $\:A_{\perp}$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ が同一平面上にある。

覚え方

(1) $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ が同一平面上にある

この性質のため、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ を $\:B$ 、 $\:C$ の線形結合で書ける：

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$

これに対し、 $\fbox{\phantom{X}}$ にはスカラの係数を、 $$ $$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $$ $$ には $$ + $$ か $$ - $$ のどちらかを入れる。

(2) 猫式奥義：公式は単純にできている

まずは、右辺の第１項 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ に注目する。左辺にある材料は $\:A$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ 。この項では $\:B$ が既に使われているため、残っている材料は $\:A$ 、 $\:B$ 。2つのベクトルからスカラを簡単に作る方法と言えば、 $\:A \sx \:C$ 。

同様に、 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$ では、 $\:A \sx \:B$ が入る。

よって、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

(3) 外積の性質：交代則 or 減算が本質

$\:B \vx \:C$ $$ = $$ $- \:C \vx \:B$ のため、右辺も $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたらマイナスにならねばならない。 $(\:A \sx \:B)$ $\:B$ で $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたら $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ になるため、 $\textcircled{\phantom{X}}$ には「 $$ - $$ 」を入れねばならなくなる。

よって、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $$ - $$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

ベクトル三重積公式 のバックアップ(No.3)

準備：ベクトル三重積の性質：、、が同一平面上にある。

(1)

(2)

(3)

覚え方

(1) 、、が同一平面上にある