ベクトル三重積公式のバックアップ差分(No.4)

追加された行はこの色です。
削除された行はこの色です。
/ベクトル三重積公式
%indent
//
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。
ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 準備：ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある。 [#g9555ab3]
** 覚え方 [#q74b3e77]

細かい理論を後回しに、まずは猫のヤリ方をどうぞ。

////////////////////////////////////////////////////////////////
*** (1) $$ \:B \vx \:C \perp \:B, \:C $$ [#hcfe7eaf]
***(1) ベクトル三重積の性質： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#g7fd8c30]
この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の線形結合で書ける：

#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)

これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。

////////////////////////////////////////////////////////////////
***(2) 猫式奥義：公式は単純にできている [#g7555855]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、残っている材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$。
ここで、2つのベクトルからスカラを作る方法考える。
答えは単純に高校で習った$$ \:A \sx \:C $$。

同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
***(3) 外積の性質： 交代則 or 「積－積」 [#e7a0a021]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:B) $ \:B $$で$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ - $$」を入れねばならなくなる。

もしくは、外積が$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $ \vx $ \arrs{C_x \\ C_y \\ C_z} $ = $$
$$ 
    \arrs{
        B_y C_z - B_z C_y
     \\ B_z C_x - B_x C_z
     \\ B_x C_y - B_y C_x
    }
$$
で計算されるように、「積－積」の形が基本と言える。
式が丁度「積－積」の形になるから、
そのセンスで$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れても良い。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)


////////////////////////////////////////////////////////////////
** 理論１：ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある。 [#j541cfab]

////////////////////////////////////////////////////////////////
***(a) $$ \:B \vx \:C \perp \:B, \:C $$ [#hcfe7eaf]

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    ''外積の性質その１：。''
&br;$$ \:B $$と$$ \:C $$の外積は、$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方に垂直、
&br;別の言い方をすれば$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直。
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
*** (2) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$ [#z482a2d4]
***(b) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$ [#z482a2d4]

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    ''外積の性質その２： 外積は垂直成分しか見ない。''
&br;$$ \:B \vx \:C $$と外積を取るなら、$$ \:B \vx \:C $$に垂直な成分しか意味ない。
&br;
&br;さらに、(1)と合わせて、$$ \:B \vx \:C \perp \:B, \:C, \:A_{\perp} $$より、
&br;''$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同じ平面上にある。''
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
*** (3) $$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:A_{\perp}, \:B \vx \:C $$ [#m1b3f197]
***(c) $$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:A_{\perp}, \:B \vx \:C $$ [#m1b3f197]

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    (1)と同じ理屈で、上式が成り立つ。
    (a)と同じ理屈で、上式が成り立つ。
&br;
&br;ここで、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:B \vx \:C $$より、
&br;''$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:A_{\perp} $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある。''
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 覚え方 [#k1903fbc]
////////////////////////////////////////////////////////////////
***(1) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#v14d421b]
この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の線形結合で書ける：
** 理論２ 減算の項の順番 [#n70cae67]

#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)
この方法では、(1)の式における$$ \:B $$、$$ \:C $$が両辺で同じ順番にするよう注意しなければならない。
「左右同順」で覚えられない場合、次の考え方で符号を簡単に特定できる。

これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ $ \textcircled{\phantom{X}} $ $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。

////////////////////////////////////////////////////////////////
***(2) 猫式奥義：公式は単純にできている [#vdc75c59]
***(d) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C_{\perp}) $$ [#n4751392]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、残っている材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$。
2つのベクトルからスカラを簡単に作る方法と言えば、$$ \:A \sx \:C $$。

同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    |&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    (b)と同じ理屈で、$$ \:C $$の代わりに、$$ \:B $$と垂直な$$ \:C_{\perp} $$で代用可能。
#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).05.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    そうすれば、立体問題が、右の図のように、
&br;同一平面上にある$$ \:A_{\perp} $$、$$ \:B $$、$$ \:C_{\perp} $$のベクトル三重積で、
&br;結果も同一平面上にある平面問題に化ける。
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
***(3) 外積の性質： 交代則 or 減算が本質 [#wd242245]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:B) $ \:B $$で$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ - $$」を入れねばならなくなる。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
ベクトル三重積公式 のバックアップ差分(No.4)

ベクトル三重積公式のバックアップ差分(No.4)
