ベクトル三重積公式のバックアップ(No.6)

$\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

猫式組立法

最初に、唯一の理論として、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ が同一平面上にあるというベクトル三重積の性質を利用する。これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。

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まず、 $\:B \vx \:C$ は $\:B$ と $\:C$ の両方と垂直である。言い換えれば、 $\:B \vx \:C$ は $\:B$ と $\:C$ を含む面と垂直で、その法線ベクトルである。

同様に、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ は $\:A$ と $(\:B \vx \:C)$ の両方と垂直である。このうち、 $(\:B \vx \:C)$ と垂直であるため、面の法線ベクトルと垂直なベクトルということで、その面に平行する（＝含まれる）ことになる。

よって、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ は、 $\:B$ と $\:C$ と同一平面上にある。

(1) 一次結合

この性質のため、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ を $\:B$ 、 $\:C$ の一次結合で書ける：

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$

これに対し、 $\fbox{\phantom{X}}$ にはスカラの係数を、 $\textcircled{\phantom{X}}$ には $$ + $$ か $$ - $$ のどちらかを入れる。また、この時点で、式の両辺において、 $\:B$ と $\:C$ が同順であることに注意。

(2) 猫式奥義：公式は単純にできるもの

まずは、右辺の第１項 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ に注目する。左辺にある材料は $\:A$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ 。この項では $\:B$ が既に使われているため、残っている $\:A$ と $\:C$ でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。というわけで、答えが $\:A \sx \:C$ が入る。同様に、 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$ では、 $\:A \sx \:B$ が入る。

よって、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

(3) 交代則 or 「積－積」の形

$\:B \vx \:C$ $$ = $$ $- \:C \vx \:B$ のため、右辺も $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたらマイナスにならねばならない。 $(\:A \sx \:B)$ $\:B$ で $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたら $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ になるため、 $\textcircled{\phantom{X}}$ には「 $$ - $$ 」を入れねばならなくなる。

もしくは、外積が $\arrs{B_x \\ B_y \\ B_z}$ $\vx$ $\arrs{C_x \\ C_y \\ C_z}$ $$ = $$ $\arrs{ B_y C_z - B_z C_y \\ B_z C_x - B_x C_z \\ B_x C_y - B_y C_x }$ で計算されるように、「積－積」の形が基本と言える。そのセンスで $\textcircled{\phantom{X}}$ に「 $$ - $$ 」を入れても良い。

よって、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $$ - $$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

図解：次元落とし

上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。

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ここで利用するのは、外積の同値条件である。外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。例えば上の図の場合、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $\:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C)$ が成り立つ。

また、 $\:A_{\perp}$ は特別に、 $\:B \vx \:C$ と垂直なベクトルを選んでいるが、このようなベクトルはタダ一つに決まる。そして、 $\:A_{\perp}$ は $\:B \vx \:C$ と垂直なため、 $\:B$ や $\:C$ と同一の平面に属する。

同様に、 $\:B \vx \:C$ において、 $\:B$ を固定すれば、 $\:B$ に垂直な $\:C_{\perp}$ をタダ一つ決まる。ここでも、 $\:C_{\perp}$ が $\:B$ や $\:C$ と同一の平面に属する。

よって、 $\:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C)$ では、全てのベクトルが同一平面上にあり、右図の２次元の問題となる。