ベクトル三重積公式 のバックアップ差分(No.6)

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  • 2 (2011.0730 (土) 0359.3000)
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  • 6 (2011.0730 (土) 0856.5100)
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  • 10 (2013.0629 (土) 0620.2200)
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  • 12 (2015.0315 (日) 1516.0700)
  • 13 (2015.0315 (日) 1631.2900)
  • 14 (2015.0315 (日) 1737.4000)
  • 15 (2015.0315 (日) 2148.1900)
  • 16 (2015.0328 (土) 0517.3200)
  • 17 (2015.0328 (土) 0629.0600)
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/ベクトル三重積公式
%indent
//
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* $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。
ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

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** 覚え方 [#q74b3e77]
** 猫式組立法 [#q74b3e77]

細かい理論を後回しに、まずは猫のヤリ方をどうぞ。
最初に、唯一の理論として、
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にあるというベクトル三重積の性質を利用する。
これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。

|&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方と垂直である。
言い換えれば、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面と垂直で、その法線ベクトルである。

同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:A $$と$$ (\:B \vx \:C) $$の両方と垂直である。
このうち、$$ (\:B \vx \:C) $$と垂直であるため、
面の法線ベクトルと垂直なベクトルということで、その面に平行する（＝含まれる）ことになる。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にある。

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***(1) ベクトル三重積の性質： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#g7fd8c30]
この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の線形結合で書ける：
***(1) 一次結合 [#a20375c7]

この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の一次結合で書ける：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)

これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。
また、
この時点で、式の両辺において、$$ \:B $$と$$ \:C $$が同順であることに注意。

この時点で、式の両辺で、$$ \:B $$と$$ \:C $$が同順であることに注意。

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***(2) 猫式奥義：公式は単純にできている [#g7555855]
***(2) 猫式奥義： 公式は単純にできるもの [#g7555855]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、残っている材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$。
ここで、2つのベクトルからスカラを作る方法考える。
答えは単純に高校で習った$$ \:A \sx \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。
というわけで、答えが$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)

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***(3) 外積の性質： 交代則 or 「積−積」 [#e7a0a021]
***(3) 交代則 or 「積−積」の形 [#e7a0a021]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:B) $ \:B $$で$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ - $$」を入れねばならなくなる。

もしくは、外積が$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $ \vx $ \arrs{C_x \\ C_y \\ C_z} $ = $$
$$ 
    \arrs{
        B_y C_z - B_z C_y
     \\ B_z C_x - B_x C_z
     \\ B_x C_y - B_y C_x
    }
$$
で計算されるように、「積−積」の形が基本と言える。
式が丁度「積−積」の形になるから、
そのセンスで$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れても良い。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)


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** 理論：ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある。 [#j541cfab]
** 図解：次元落とし [#o8ca9670]

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***(a) $$ \:B \vx \:C \perp \:B, \:C $$ [#hcfe7eaf]
上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    ''外積の性質その１：。''
&br;$$ \:B $$と$$ \:C $$の外積は、$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方に垂直、
&br;別の言い方をすれば$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直。
#ceq(end)
|&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|

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***(b) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$ [#z482a2d4]
ここで利用するのは、外積の同値条件である。
外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、
片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。
例えば上の図の場合、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$が成り立つ。

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    ''外積の性質その２： 外積は垂直成分しか見ない。''
&br;$$ \:B \vx \:C $$と外積を取るなら、$$ \:B \vx \:C $$に垂直な成分しか意味ない。
&br;
&br;さらに、(1)と合わせて、$$ \:B \vx \:C \perp \:B, \:C, \:A_{\perp} $$より、
&br;''$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同じ平面上にある。''
#ceq(end)
また、$$ \:A_{\perp} $$は特別に、$$ \:B \vx \:C $$と垂直なベクトルを選んでいるが、
このようなベクトルはタダ一つに決まる。
そして、$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B \vx \:C $$と垂直なため、
$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。

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***(c) $$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:A_{\perp}, \:B \vx \:C $$ [#m1b3f197]
同様に、$$ \:B \vx \:C $$において、$$ \:B $$を固定すれば、
$$ \:B $$に垂直な$$ \:C_{\perp} $$をタダ一つ決まる。
ここでも、$$ \:C_{\perp} $$が$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    (a)と同じ理屈で、上式が成り立つ。
&br;
&br;ここで、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) \perp \:B \vx \:C $$より、
&br;''$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:A_{\perp} $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある。''
#ceq(end)
よって、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$では、全てのベクトルが同一平面上にあり、
右図の２次元の問題となる。

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** 別解： ２次元問題に落とす [#n70cae67]


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***(d) $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C_{\perp}) $$ [#vad3fb65]

#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    (b)と同じ理屈で、$$ \:C $$の代わりに、$$ \:B $$と垂直な$$ \:C_{\perp} $$で代用可能。
#ceq(e)
    |&attachref(./Ax(BxC).05.png,35%,left,around);|
#ceq(q)
    そうすれば、立体問題が、右の図のように、
&br;同一平面上にある$$ \:A_{\perp} $$、$$ \:B $$、$$ \:C_{\perp} $$のベクトル三重積で、
&br;結果も同一平面上にある平面問題に化ける。
#ceq(end)



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