ベクトル三重積公式のバックアップ(No.7)

猫式組立： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

(0：準備) ベクトル三重積の性質： $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ が同一平面上にある

最初に、唯一の理論として、ベクトル三重積の性質を利用する。これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。

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まず、 $\:B \vx \:C$ は $\:B$ と $\:C$ の両方と垂直である。言い換えれば、 $\:B \vx \:C$ は $\:B$ と $\:C$ を含む面と垂直である。

同様に、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ は $\:A$ と $\:B \vx \:C$ の両方と垂直である。このうち、 $\:B \vx \:C$ と垂直であるため、 $\:B$ と $\:C$ を含む面に垂直なベクトルと垂直ということで、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ はその面上になければならない。

(1) 一次結合

この性質のため、 $\:A \vx (\:B \vx \:C)$ を $\:B$ 、 $\:C$ の一次結合で書ける：

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$

これに対し、 $\fbox{\phantom{X}}$ にはスカラの係数を、 $\textcircled{\phantom{X}}$ には $$ + $$ か $$ - $$ のどちらかを入れる。また、この時点で、式の両辺において、 $\:B$ と $\:C$ が同順であることに注意。

(2) 猫式奥義：公式は単純にできるもの

まずは、右辺の第１項 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:B$ に注目する。左辺にある材料は $\:A$ 、 $\:B$ 、 $\:C$ 。この項では $\:B$ が既に使われているため、残っている $\:A$ と $\:C$ でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。というわけで、答えが $\:A \sx \:C$ が入る。同様に、 $\fbox{\phantom{X}}$ $\:C$ では、 $\:A \sx \:B$ が入る。

よって、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $\textcircled{\phantom{X}}$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

(3) 交代則 or 「積－積」の形

$\:B \vx \:C$ $$ = $$ $- \:C \vx \:B$ のため、右辺も $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたらマイナスにならねばならない。 $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ の $\:A$ と $\:B$ を入れ替えたら $(\:A \sx \:B)$ $\:C$ になるため、交代則を成立させるには、 $\textcircled{\phantom{X}}$ に「 $$ - $$ 」を入れるしかない。

もしくは、外積が $\arrs{B_x \\ B_y \\ B_z}$ $\vx$ $\arrs{C_x \\ C_y \\ C_z}$ $$ = $$ $\arrs{ B_y C_z - B_z C_y \\ B_z C_x - B_x C_z \\ B_x C_y - B_y C_x }$ で計算されるように、「積－積」の形が基本と言える。そのセンスで $\textcircled{\phantom{X}}$ に「 $$ - $$ 」を入れても良い。

以上より、

$\:A \vx (\:B \vx \:C)$ $$ = $$ $(\:A \sx \:C)$ $\:B$ $$ - $$ $(\:A \sx \:B)$ $\:C$

ベクトル三重積公式 のバックアップ(No.7)

猫式組立：