ベクトル三重積公式のバックアップ差分(No.7)

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/ベクトル三重積公式
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* $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
* 猫式組立： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。
ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

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** 猫式組立法 [#q74b3e77]
***(0：準備) ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#b742be6a]

最初に、唯一の理論として、
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にあるというベクトル三重積の性質を利用する。
最初に、唯一の理論として、ベクトル三重積の性質を利用する。
これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。

|&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方と垂直である。
言い換えれば、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面と垂直で、その法線ベクトルである。
言い換えれば、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面と垂直である。

同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:A $$と$$ (\:B \vx \:C) $$の両方と垂直である。
このうち、$$ (\:B \vx \:C) $$と垂直であるため、
面の法線ベクトルと垂直なベクトルということで、その面に平行する（＝含まれる）ことになる。
同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:A $$と$$ \:B \vx \:C $$の両方と垂直である。
このうち、$$ \:B \vx \:C $$と垂直であるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面に垂直なベクトルと垂直ということで、
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$はその面上になければならない。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にある。

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***(1) 一次結合 [#a20375c7]
***(1) 一次結合 [#x3a51524]

この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の一次結合で書ける：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)
これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。
また、
この時点で、式の両辺において、$$ \:B $$と$$ \:C $$が同順であることに注意。

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***(2) 猫式奥義： 公式は単純にできるもの [#g7555855]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。
というわけで、答えが$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)

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***(3) 交代則 or 「積－積」の形 [#e7a0a021]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:B) $ \:B $$で$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ - $$」を入れねばならなくなる。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$の$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
交代則を成立させるには、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れるしかない。

もしくは、外積が$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $ \vx $ \arrs{C_x \\ C_y \\ C_z} $ = $$
$$ 
    \arrs{
        B_y C_z - B_z C_y
     \\ B_z C_x - B_x C_z
     \\ B_x C_y - B_y C_x
    }
$$
で計算されるように、「積－積」の形が基本と言える。
そのセンスで$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れても良い。

よって、
以上より、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)


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** 図解：次元落とし [#o8ca9670]
//*** 図解：次元落とし
//
//上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。
//
//|&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|*
//|&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|
//
//ここで利用するのは、外積の同値条件である。
//外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、
//片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。
//例えば上の図の場合、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$が成り立つ。
//
//また、$$ \:A_{\perp} $$は特別に、$$ \:B \vx \:C $$と垂直なベクトルを選んでいるが、
//このようなベクトルはタダ一つに決まる。
//そして、$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B \vx \:C $$と垂直なため、
//$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//同様に、$$ \:B \vx \:C $$において、$$ \:B $$を固定すれば、
//$$ \:B $$に垂直な$$ \:C_{\perp} $$をタダ一つ決まる。
//ここでも、$$ \:C_{\perp} $$が$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//よって、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$では、全てのベクトルが同一平面上にあり、
//右図の２次元の問題になる。
//
//一般に、任意のベクトル$$ \:V $$は$$ |\:V| \:1_{\:V} $$の形で、
//大きさ$$ |\:V| $$と向きを表す単位ベクトル$$ \:1_{\:V} $$
//((普通は、$$ \:V $$の単位ベクトルを$$ \hat{\:V} $$と表すが、$$ \:V $$が式の場合は書けないため、猫式では使わない。))
//$$ \equiv $ \ffd{\:V}{|\:V|} $$に分解できる。
//以下で、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$を大きさと向きに分けて導く。
//
//%bodynote
//
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//**(1) 大きさ
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の大きさは次のように計算できる：
//
//$$ | \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) | $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B \vx \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:A_{\perp} $ \perp $ \:B \vx \:C $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B | $ \cdot $ | \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:B $ \perp $ \:C $$
//#ceq(end);
//
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//**(2) 向き
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の向きは、
//$$ \:A $$の向きを求め、その法線方向を取れば良い。
//
//***(2-1) $$ \:A_{\perp} $$の成分分解と傾き
//
//互いに垂直な$$ \:B $$と$$ \:C_{\perp} $$を軸（基底）と見なし、
//$$ \:A_{\perp} $$をそれぞれに平行な成分に分解すると次のようになる。
//
//#ceq(e)
//    $$ \:A_{\perp} $ = $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:B} \cdot \:1_{\:B} $ + $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}} \cdot \:1_{\:C_{\perp}} $$
//    ((単純化のため２次元問題に落としているが、各成分は方向余弦であるため、$$ \:A $$のままの３次元でも成立する。))
//#ceq(end);
//
//このとき、$$ \:A_{\perp} $$の「傾き」は$$ \ffd{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:B}}{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}}} $$と書ける。
//
//
//
//%bodynote
//

上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。

|&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|

ここで利用するのは、外積の同値条件である。
外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、
片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。
例えば上の図の場合、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$が成り立つ。

また、$$ \:A_{\perp} $$は特別に、$$ \:B \vx \:C $$と垂直なベクトルを選んでいるが、
このようなベクトルはタダ一つに決まる。
そして、$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B \vx \:C $$と垂直なため、
$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。

同様に、$$ \:B \vx \:C $$において、$$ \:B $$を固定すれば、
$$ \:B $$に垂直な$$ \:C_{\perp} $$をタダ一つ決まる。
ここでも、$$ \:C_{\perp} $$が$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。

よって、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$では、全てのベクトルが同一平面上にあり、
右図の２次元の問題となる。

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ベクトル三重積公式 のバックアップ差分(No.7)

ベクトル三重積公式のバックアップ差分(No.7)
