ベクトル三重積公式のバックアップの現在との差分(No.7)

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/ベクトル三重積公式
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* 猫式組立： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
* 凌宮組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
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;,ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
;,ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出せる。

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。
ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。
*** (1) 垂直の垂直で元の平面 ⇒ 平面上で成分分解 [#q98f0a98]

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***(0：準備) ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#b742be6a]
|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|

最初に、唯一の理論として、ベクトル三重積の性質を利用する。
これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。
;,まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
;,外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$の両方に垂直のため、
;,$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を含む平面に垂直。

|&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|
;,同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$に垂直。
;,その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
;,&font(#06C){垂直};の&font(#C00){垂直};で&font(#080){元の平面};に戻る。

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方と垂直である。
言い換えれば、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面と垂直である。
|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|

同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:A $$と$$ \:B \vx \:C $$の両方と垂直である。
このうち、$$ \:B \vx \:C $$と垂直であるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面に垂直なベクトルと垂直ということで、
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$はその面上になければならない。
;,というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$と同一平面上にある。
;,よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$に成分分解できる
((難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を平面の基底として、同平面上にある$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$を成分分解できる。))。
;,これを穴埋めの形で書くと、こうなる：
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」または「$$ - $$」の符号が入る。


%bodynote
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***(1) 一次結合 [#x3a51524]
***(2) 次元解析 ＆ スカラ積＝内積 [#tcdf37a3]

この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の一次結合で書ける：
;,次は、$$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、$$ \:A \:B \:C $$の次元である((次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、$$ \:A $$が[m]、$$ \:B $$が[s]、$$ \:C $$が[g]とか。))。
;,よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$も$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$も３文字の掛け算であるべき。
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \spc{?}{\vx} \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \spc{?}{\vx} \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。
また、
この時点で、式の両辺において、$$ \:B $$と$$ \:C $$が同順であることに注意。

;,さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自ずとスカラ積すなわち内積になる
((実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。))。
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)

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***(2) 猫式奥義： 公式は単純にできるもの [#g7555855]
***(3) 極端な例で符号判定 [#y54d2ea9]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。
;,外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$であるため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスになる。
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
  交代則を成立させるには、２つの$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「＋」と「－」と逆の符号が入る。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。
というわけで、答えが$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。
;,この符号は外積の立体的な回転を２回も考える必要がある。
;,今は符号さえ分かれば良いので、問題を簡単にしてから調べれば良い。
//
//|&attachref(./符号Ax(BxC).png,30%,left,around);|&attachref(./符号ix(ixj).png,30%,left,around);|
//
//;,$$ \:B \vx \:C $$は外積であるため、結果が変らないように$$ \iro[md]{\:B} $$と垂直な$$ \iro[md]{\:C'} $$を選べる。
//;,$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$も同様、結果が変らないように$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$と垂直な$$ \iro[ao]{\:A'} $$を選べる。
//;,さらに、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C'} $$をそれぞれ直交座標系の単位ベクトル$$ \:i $$と$$ \:j $$にしても符号は変らない((大きさだけが変る。))。
//;,対して、$$ \iro[ao]{\:A'} $$は$$ \:i + \:j $$としても符号に影響を与えない(($$ \:i $$と$$ \:j $$の係数が共に正である限り、成分に含まれる符号は出てこない。))
//;,仕舞に、$$ \iro[ao]{\:A'} $$を$$ \:i $$に選んでも片方の符号は出てくる(($$ \:i + \:j $$を選んだ場合、$$(\:i + \:j) $ \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i - \:j $$になるよう//に、両方の符号が出てくるだけ。))
//
//そうすると、ベクトル三重積が、空間ベクトルの基本である単位ベクトルの定義に帰着される：
//|*正順|*逆順|
//|$$ \:i $ \vx $ \:j $ = $ \:k $$|$$ \:j $ \vx $ \:i $ = $ -\:k $$|
//|$$ \:j $ \vx $ \:k $ = $ \:i $$|$$ \:k $ \vx $ \:j $ = $ -\:i $$|
//|$$ \:k $ \vx $ \:i $ = $ \:j $$|$$ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\:j $$|
//
;,外積で一番簡単に計算できるのは、単位基本ベクトル$$ \:i $$、$$ \:j $$、$$ \:k $$である。
;,これが向き、つまり符号、の定義と言っても過言でない。
#ceq(e)
      $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
  &br;⇒ $$ \:i \vx (\:i \vx \:j) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\:j $$
  &br;⇒ $$ -\:C $$
#ceq(a)
      $$ \:B $$⇔$$ \:i $$
  &br;$$ \:C $$⇔$$ \:j $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \:C $$の前が「$$-$$」、残る$$ \:B $$の前は「$$+$$」となる。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)

よって、
他方、紛らわしい$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$も全く同様に置換すれば良い。
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
      $$ (\:A \vx \:B) \vx \:C $$
  &br;⇒ $$ (\:i \vx \:j) \vx \:i $ = $ \:k $ \vx $ \:i $ = $ +\:j $$
  &br;⇒ $$ +\:B $$
#ceq(a)
      $$ \:A $$⇔$$ \:i $$
  &br;$$ \:B $$⇔$$ \:j $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \:B $$の前が「$$+$$」、残る$$ \:A $$の前は「$$-$$」となる。
#ceq(e)
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $ = $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)

%bodynote
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***(3) 交代則 or 「積－積」の形 [#e7a0a021]
* まとめ・つなぎ [#f167d396]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$の$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
交代則を成立させるには、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れるしかない。
;,ベクトル三重積の公式$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$や$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$に関して、
;,以下の手順で公式を簡単に組み立てられる：

もしくは、外積が$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $ \vx $ \arrs{C_x \\ C_y \\ C_z} $ = $$
$$ 
    \arrs{
        B_y C_z - B_z C_y
     \\ B_z C_x - B_x C_z
     \\ B_x C_y - B_y C_x
    }
$$
で計算されるように、「積－積」の形が基本と言える。
そのセンスで$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れても良い。

以上より、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
  $$ \iro[ao]{\:A} $ \vx $ (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
  $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) $ \vx $ \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(e)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (1) 平面決定・成分分解
#ceq(e)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (2) 次元決定・演算決定
#ceq(e)
  $$ = $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
  $$ = $ - $ (\:B \sx \:C) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(a)
  (3) 符号決定
#ceq(e)
  　　∵ &font(75%){$$ \iro[ao]{\:i} $ \vx $ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $ = $ \:i $ \vx $ \:k $ = $ -\iro[md]{\:j} $$ ⇒ $$ - $ \iro[md]{\:C} $$};
#ceq(q)
  　　∵ &font(75%){$$ (\iro[md]{\:i} \vx \iro[md]{\:j}) $ \vx $ \iro[ao]{\:i} $ = $ \:k $ \vx $ \:i $ = $ +\iro[md]{\:j} $$ ⇒ $$ + $ \iro[md]{\:B} $$};
#ceq(a)
  　　&font(75%){簡単な特例で符号調べ};
#ceq(end)

;,なお、各ステップの意味合い、および、符号決定の別手法は「[[ベクトル三重積公式の補足>./ベクトル三重積公式の補足]]」にて補足する。
;,また、ベクトル三重積の応用例は乏しく、簡単に見つかるのは以下の３つである：
- ベクトル微分の回転$$ \:\nabla \vx $$が絡む[[回転公式>http://limg.sakura.ne.jp/LimgMath/index.php?%A5%D9%A5%AF%A5%C8%A5%EB%C8%F9%CA%AC%B1%E9%BB%BB%BB%D2%2F%B2%F3%C5%BE%B8%F8%BC%B0]]。
&br;ただし、通常表記では表記の制約上、ベクトル三重積を適応した表記を表現できない。
- 角運動量$$ \:L $$と角速度$$ \:\omega $$の関係式$$ \:L $ = $ m $ \:r $ \vx $ (\:\omega \vx \:r) $$((参考：[[EMANの物理学 / 力学 / 慣性モーメントテンソル >http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/mom_tensor.html]]))。
&br; ただし、これは$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $ = $ \:C $ \iro[gy]{=} $ \iro[gy]{\:r} $$となっている特殊例である。
- 空間ベクトル$$ \:A $$を$$ \:u $$方向の[[単位ベクトル]]$$ \:1_u $$に対して平行と垂直に成分分解する際の垂直ベクトル成分：
&br;　　$$ \:A $ = $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $ + $ \:A_{\perp\:1_u} $$
$$ , $$ $$ \bigg\{ \begin{array}{ll} \:A_{\,\parallel\:1_u} = (\:1_u \sx \:A)\; \:1_u & \!\!,\; \:A_{\,\parallel\:1_u} \,\parallel \:1_u \\ \:A_{\perp\:1_u} = (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u & \!\!,\; \:A_{\perp\:1_u} \perp \:1_u \end{array} $$
&br; ベクトル三重積公式がは、分解式を移項した$$ $ \:A_{\perp\:1_u} $ = $ \:A $ - $ \:A_{\,\parallel\:1_u} $$に対応している：
&br; 　　$$ (\:1_u \vx \:A) \vx \:1_u $ = $ \cancel{(\:1_u \sx \:1_u)} $ \:A $ - $ (\:1_u \sx \:A) $ \:1_u $$
&br; ただし、これも$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $$の場合で、$$ \:A $ = $ \:C $ \iro[gy]{=} $ \iro[gy]{\:1_u} $$となっている特殊例である。

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//*** 図解：次元落とし
//
//上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。
//
//|&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|*
//|&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|
//
//ここで利用するのは、外積の同値条件である。
//外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、
//片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。
//例えば上の図の場合、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$が成り立つ。
//
//また、$$ \:A_{\perp} $$は特別に、$$ \:B \vx \:C $$と垂直なベクトルを選んでいるが、
//このようなベクトルはタダ一つに決まる。
//そして、$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B \vx \:C $$と垂直なため、
//$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//同様に、$$ \:B \vx \:C $$において、$$ \:B $$を固定すれば、
//$$ \:B $$に垂直な$$ \:C_{\perp} $$をタダ一つ決まる。
//ここでも、$$ \:C_{\perp} $$が$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//よって、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$では、全てのベクトルが同一平面上にあり、
//右図の２次元の問題になる。
//
//一般に、任意のベクトル$$ \:V $$は$$ |\:V| \:1_{\:V} $$の形で、
//大きさ$$ |\:V| $$と向きを表す単位ベクトル$$ \:1_{\:V} $$
//((普通は、$$ \:V $$の単位ベクトルを$$ \hat{\:V} $$と表すが、$$ \:V $$が式の場合は書けないため、猫式では使わない。))
//$$ \equiv $ \ffd{\:V}{|\:V|} $$に分解できる。
//以下で、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$を大きさと向きに分けて導く。
//
//%bodynote
//
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//**(1) 大きさ
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の大きさは次のように計算できる：
//
//$$ | \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) | $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B \vx \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:A_{\perp} $ \perp $ \:B \vx \:C $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B | $ \cdot $ | \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:B $ \perp $ \:C $$
//#ceq(end);
//
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//**(2) 向き
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の向きは、
//$$ \:A $$の向きを求め、その法線方向を取れば良い。
//
//***(2-1) $$ \:A_{\perp} $$の成分分解と傾き
//
//互いに垂直な$$ \:B $$と$$ \:C_{\perp} $$を軸（基底）と見なし、
//$$ \:A_{\perp} $$をそれぞれに平行な成分に分解すると次のようになる。
//
//#ceq(e)
//    $$ \:A_{\perp} $ = $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:B} \cdot \:1_{\:B} $ + $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}} \cdot \:1_{\:C_{\perp}} $$
//    ((単純化のため２次元問題に落としているが、各成分は方向余弦であるため、$$ \:A $$のままの３次元でも成立する。))
//#ceq(end);
//
//このとき、$$ \:A_{\perp} $$の「傾き」は$$ \ffd{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:B}}{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}}} $$と書ける。
//
//
//
//%bodynote
//
ベクトル三重積公式 のバックアップの現在との差分(No.7)

ベクトル三重積公式のバックアップの現在との差分(No.7)
