ベクトル三重積公式 のバックアップ(No.8) |
猫式組立術:(1) 垂直の垂直は元の平面ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。しかし、外積の性質を利用すれば、簡単に公式を組み立てられる。 まず、はとの両方に垂直のため、とを含む平面に垂直。同様に、はに垂直。その結果、は、とを含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、垂直の垂直で元の平面に戻る。 というわけで、はとと同一平面上にある。 (2) 一次結合はとと同一平面上にあるため、との一次結合に分解できる: ここで、にはスカラの係数が、には「」か「」のいずれが入る。 順番注意: 図を描かずに済ませるため、最後に掛け合わせるに近いを先に書く必要がある。 (3) 猫式奥義: 単純則まずは、右辺の第1項に注目する。左辺にある材料は、、。この項ではが既に使われているため、残っているとでスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。 2つのベクトルから1つのスカラを作る最も簡単な方法 ── 内積。 というわけで、にはが入る。同様に、にはが入る。 よって、 (4) 交代則のため、右辺もとが交代したらマイナスにならねばならない。でとが交代したらになるため、交代則を成立させるには、に「」を入れるしかない。 よって、 (補足) 符号判定ベクトル外積にはとの2つの書き方があり、(2)の注意で書かれたように、最後に掛け合わせるベクトルに数式上で近い軸を先に書いていれば、普通に第1項が「+」、第2項が「−」になってくれる。 すなわち: また、図を描く場合、それぞれ次のように符号を判定できる。ただ、成分の符号による影響を除外するため、先に掛け合わせる2つのベクトルとそれらの外積を3つの軸を斜交座標系と見なしたとき、後から掛けるベクトル向きを全ての成分が正になるように決めるのがコツ。 |