ベクトル三重積公式 のバックアップ差分(No.8)

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  • 4 (2011.0730 (土) 0559.1100)
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  • 12 (2015.0315 (日) 1516.0700)
  • 13 (2015.0315 (日) 1631.2900)
  • 14 (2015.0315 (日) 1737.4000)
  • 15 (2015.0315 (日) 2148.1900)
  • 16 (2015.0328 (土) 0517.3200)
  • 17 (2015.0328 (土) 0629.0600)
  • 18 (2015.0328 (土) 1256.3800)
  • 19 (2015.0928 (月) 2036.5500)

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/ベクトル三重積公式
%indent
//
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* 猫式組立： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中で非常に覚えにくい公式である。
ここでは、外積の性質と、「公式は単純である」というイイ加減な発想に基づく覚え方を紹介する。

* 猫式組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
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***(0：準備) ベクトル三重積の性質：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$が同一平面上にある [#b742be6a]
***(1) 垂直の垂直は元の平面 [#q98f0a98]

最初に、唯一の理論として、ベクトル三重積の性質を利用する。
これは、外積の垂直条件から簡単に導ける。
ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
しかし、外積の性質を利用すれば、簡単に公式を組み立てられる。

|&attachref(./Ax(BxC).01.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).02.png,35%,left,around);|
|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[md]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A} $$
//$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math + \endmath}} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math - \endmath}} $$

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方と垂直である。
言い換えれば、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面と垂直である。
まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方に垂直のため、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直。
同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B \vx \:C $$に垂直。
その結果、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。

同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:A $$と$$ \:B \vx \:C $$の両方と垂直である。
このうち、$$ \:B \vx \:C $$と垂直であるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む面に垂直なベクトルと垂直ということで、
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$はその面上になければならない。
|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|

というわけで、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にある。

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***(1) 一次結合 [#x3a51524]
***(2) 一次結合 [#x3a51524]

この性質のため、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$を$$ \:B $$、$$ \:C $$の一次結合で書ける：
$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にあるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$の一次結合に分解できる：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)
これに対し、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数を、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には$$ + $$か$$ - $$のどちらかを入れる。
また、
この時点で、式の両辺において、$$ \:B $$と$$ \:C $$が同順であることに注意。
ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」か「$$ - $$」のいずれが入る。

''順番注意''： 図を描かずに済ませるため、最後に掛け合わせる$$ \:A $$に近い$$ \:B $$を先に書く必要がある。

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***(2) 猫式奥義： 公式は単純にできるもの [#g7555855]
***(3) 猫式奥義： 単純則 [#g7555855]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

2つのベクトルからスカラを作る方法で最も簡単な演算と言えば ── 内積。
というわけで、答えが$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$では、$$ \:A \sx \:B $$が入る。
２つのベクトルから１つのスカラを作る最も簡単な方法 ── 内積。

よって、
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(end)
というわけで、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$には$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$には$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

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***(3) 交代則 or 「積−積」の形 [#e7a0a021]
***(4) 交代則 [#d8d91ff0]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$の$$ \:A $$と$$ \:B $$を入れ替えたら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
交代則を成立させるには、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れるしかない。

もしくは、外積が$$ \arrs{B_x \\ B_y \\ B_z} $ \vx $ \arrs{C_x \\ C_y \\ C_z} $ = $$
$$ 
    \arrs{
        B_y C_z - B_z C_y
     \\ B_z C_x - B_x C_z
     \\ B_x C_y - B_y C_x
    }
$$
で計算されるように、「積−積」の形が基本と言える。
そのセンスで$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れても良い。
よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

以上より、
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* (補足) 符号判定 [#e0204185]

ベクトル外積には$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$と$$ \:A \vx \:B \vx \:C $$の２つの書き方があり、
(2)の注意で書かれたように、最後に掛け合わせるベクトルに数式上で近い軸を先に書いていれば、
普通に第１項が「＋」、第２項が「−」になってくれる。

すなわち：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ \:A \vx \:B \vx \:C $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:A $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:C \sx \:A) $ \:B $ - $ (\:C \sx \:B) $ \:A $$
#ceq(end)

また、図を描く場合、それぞれ次のように符号を判定できる。
ただ、成分の符号による影響を除外するため、
先に掛け合わせる２つのベクトルとそれらの外積を３つの軸を斜交座標系と見なしたとき、
後から掛けるベクトル向きを全ての成分が正になるように決めるのがコツ。

|&attachref(./Ax(BxC)+-.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./AxBxC+-.png,35%,left,around);|

//$$ \iro[md]{\:A} $$
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[ao]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A \vx \:B} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx \:B \vx \:C} $$

%bodynote
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//*** 図解：次元落とし
//
//上記とは別に、３次元問題を等価変換で２次元問題に落として簡単化する方法もある。
//
//|&attachref(./Ax(BxC).03.png,35%,left,around);|*
//|&attachref(./Ax(BxC).04.png,35%,left,around);|
//
//ここで利用するのは、外積の同値条件である。
//外積の幾何的意味は、２つのベクトルの張る平方四辺形の面積であるため、
//片方を固定しても、面積さえ変わらなければ、他方を自由に動かせる。
//例えば上の図の場合、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$が成り立つ。
//
//また、$$ \:A_{\perp} $$は特別に、$$ \:B \vx \:C $$と垂直なベクトルを選んでいるが、
//このようなベクトルはタダ一つに決まる。
//そして、$$ \:A_{\perp} $$は$$ \:B \vx \:C $$と垂直なため、
//$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//同様に、$$ \:B \vx \:C $$において、$$ \:B $$を固定すれば、
//$$ \:B $$に垂直な$$ \:C_{\perp} $$をタダ一つ決まる。
//ここでも、$$ \:C_{\perp} $$が$$ \:B $$や$$ \:C $$と同一の平面に属する。
//
//よって、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$では、全てのベクトルが同一平面上にあり、
//右図の２次元の問題になる。
//
//一般に、任意のベクトル$$ \:V $$は$$ |\:V| \:1_{\:V} $$の形で、
//大きさ$$ |\:V| $$と向きを表す単位ベクトル$$ \:1_{\:V} $$
//((普通は、$$ \:V $$の単位ベクトルを$$ \hat{\:V} $$と表すが、$$ \:V $$が式の場合は書けないため、猫式では使わない。))
//$$ \equiv $ \ffd{\:V}{|\:V|} $$に分解できる。
//以下で、$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$を大きさと向きに分けて導く。
//
//%bodynote
//
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//**(1) 大きさ
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の大きさは次のように計算できる：
//
//$$ | \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) | $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B \vx \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:A_{\perp} $ \perp $ \:B \vx \:C $$
//#ceq(e)
//    $$ = $ | \:A_{\perp} | $ \cdot $ | \:B | $ \cdot $ | \:C | $$
//#ceq()
//    ∵ $$ \:B $ \perp $ \:C $$
//#ceq(end);
//
//////////////////////////////////////////////////////////////////
//**(2) 向き
//
//$$ \:A_{\perp} \vx (\:B \vx \:C) $$の向きは、
//$$ \:A $$の向きを求め、その法線方向を取れば良い。
//
//***(2-1) $$ \:A_{\perp} $$の成分分解と傾き
//
//互いに垂直な$$ \:B $$と$$ \:C_{\perp} $$を軸（基底）と見なし、
//$$ \:A_{\perp} $$をそれぞれに平行な成分に分解すると次のようになる。
//
//#ceq(e)
//    $$ \:A_{\perp} $ = $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:B} \cdot \:1_{\:B} $ + $ \:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}} \cdot \:1_{\:C_{\perp}} $$
//    ((単純化のため２次元問題に落としているが、各成分は方向余弦であるため、$$ \:A $$のままの３次元でも成立する。))
//#ceq(end);
//
//このとき、$$ \:A_{\perp} $$の「傾き」は$$ \ffd{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:B}}{\:A_{\perp} \sx \:1_{\:C_{\perp}}} $$と書ける。
//
//
//
//%bodynote
//
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