ベクトル三重積公式のバックアップソース(No.8)

/ベクトル三重積公式
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* 猫式組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
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***(1) 垂直の垂直は元の平面 [#q98f0a98]

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
しかし、外積の性質を利用すれば、簡単に公式を組み立てられる。

|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[md]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A} $$
//$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math + \endmath}} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math - \endmath}} $$

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方に垂直のため、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直。
同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B \vx \:C $$に垂直。
その結果、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。

|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|

というわけで、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にある。

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***(2) 一次結合 [#x3a51524]

$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にあるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$の一次結合に分解できる：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(end)
ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」か「$$ - $$」のいずれが入る。

''順番注意''： 図を描かずに済ませるため、最後に掛け合わせる$$ \:A $$に近い$$ \:B $$を先に書く必要がある。

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***(3) 猫式奥義： 単純則 [#g7555855]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。

２つのベクトルから１つのスカラを作る最も簡単な方法 ── 内積。

というわけで、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$には$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$には$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

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***(4) 交代則 [#d8d91ff0]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
交代則を成立させるには、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れるしかない。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

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* (補足) 符号判定 [#e0204185]

ベクトル外積には$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$と$$ \:A \vx \:B \vx \:C $$の２つの書き方があり、
(2)の注意で書かれたように、最後に掛け合わせるベクトルに数式上で近い軸を先に書いていれば、
普通に第１項が「＋」、第２項が「－」になってくれる。

すなわち：
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ \:A \vx \:B \vx \:C $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:A $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:C \sx \:A) $ \:B $ - $ (\:C \sx \:B) $ \:A $$
#ceq(end)

また、図を描く場合、それぞれ次のように符号を判定できる。
ただ、成分の符号による影響を除外するため、
先に掛け合わせる２つのベクトルとそれらの外積を３つの軸を斜交座標系と見なしたとき、
後から掛けるベクトル向きを全ての成分が正になるように決めるのがコツ。

|&attachref(./Ax(BxC)+-.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./AxBxC+-.png,35%,left,around);|

//$$ \iro[md]{\:A} $$
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[ao]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A \vx \:B} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx \:B \vx \:C} $$

%bodynote
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ベクトル三重積公式 のバックアップソース(No.8)

ベクトル三重積公式のバックアップソース(No.8)
