凌宮組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ EditToHeaderToFooter

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出すことができる。

(1) 垂直の垂直で元の平面 ＆ 平面上で成分分解 EditToHeaderToFooter

left,aroundleft,around

まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$の両方に垂直のため、
$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を含む平面に垂直。

同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$に垂直。
その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。

left,around

というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$と同一平面上にある。
よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$に成分分解できる*1。
これを穴埋めの形で書くと、こうなる：

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$

ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」または「$$ - $$」の符号が入る。

*1 難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を平面の基底として、同平面上にある$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$を成分分解できる。

(2) 次元解析 ＆ スカラと言えば内積 EditToHeaderToFooter

次は、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、$$ \:A \:B \:C $$の次元である*2。
よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$も$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$も３文字の掛け算であるべき。

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A ? \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A ? \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自ずと内積になる*3。

$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$$$ = $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

*2 次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、$$ \:A $$が[m]、$$ \:B $$が[s]、$$ \:C $$が[g]とか。
*3 実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。

(3) 符号判定 EditToHeaderToFooter

外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $$$$ = $$$$ - \:C \vx \:B $$であるため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスになる。
$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \:C $$になるため、交代則を成立させるには、２つの$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「＋」と「−」と逆の符号が入る。

問題は、左辺は２つの書き方があり、掛け方によって符号が逆転する。

$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ \textcircled{\phantom{X}} $$$$ \fbox{\phantom{X}} $$$$ \iro[md]{\:B} $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ - $$$$ (\:C \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ + $$$$ (\:C \sx \:A) $$$$ \iro[md]{\:B} $$

この符号は外積の回転方向を２回も考える必要がある。
３次元空間でぐるぐる回るのは結構面倒なので、便宜的な手法ではあるが２次元で済ませたい。
さらに、三重積は任意のベクトルで成立するため、次の２つの条件を満たす単純な例で済ませたい。

  • 先に掛け合わせるベクトルが互いに垂直*4
  • 後に掛け加えるベクトルが前の片方と同じ向き*5*6

論はないが証拠、これで（片方の）符号が分る：

left,aroundleft,around

$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$について、まず$$ \iro[md]{\:B} $$に$$ \iro[md]{\:C} $$を右から掛けて、$$ \iro[ao]{\:A} $$を左から掛ける。
ポイントは掛ける向きが逆であるため、向きが打ち消して元の$$ \iro[md]{\:B} $$の向きになる。
したがって、$$ \iro[md]{\:B} $$の符号は「$$ + $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:C} $$には逆の「$$ - $$」が付く。

$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ + $$$$ (\:A \sx \:C) $$$$ \iro[md]{\:B} $$$$ - $$$$ (\:A \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:C} $$

$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$について、まず$$ \iro[md]{\:A} $$に$$ \iro[md]{\:B} $$を右から掛けて、$$ \iro[ao]{\:C} $$をさらに右から掛ける。
ポイントは掛ける向きが同じであるため、そのまま回し続けて$$ \iro[md]{\:B} $$と逆の向きになる。
したがって、$$ \iro[md]{\:A} $$の符号は「$$ - $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:B} $$には逆の「$$ + $$」が付く。

$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$

$$ \;\Rightarrow\; $$$$ - $$$$ (\:C \sx \:B) $$$$ \iro[md]{\:A} $$$$ + $$$$ (\:C \sx \:A) $$$$ \iro[md]{\:B} $$

*4 やっていることは$$ \:B \:C $$平面上のベクトルの成分分解であるため、斜交座標より直交座標系を使う方が直角が多くて簡単。
*5 $$ \:A $$は空間上に浮いても、$$ \:B \:C $$平面上の成分しか外積の結果に影響を与えないため、$$ \:B \:C $$平面上に乗せても結果は同じ。
*6 重ねることにより考える成分が１つ減るため、楽が出来る。片方の符号が決まれば他方も決まるため、１成分の符号だけ分れば十分。
file符号ix(ixj).png 369件 [詳細] file符号Ax(BxC).png 380件 [詳細] file符号判定(AxB)xC.png 695件 [詳細] file符号判定Ax(BxC).png 760件 [詳細] filePerpPerp.png 771件 [詳細] fileBxC.png 856件 [詳細] fileAxBxC+-.png 422件 [詳細] fileAx(BxC).png 1016件 [詳細] fileAx(BxC)+-.png 405件 [詳細]
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