ベクトル三重積公式 のバックアップ差分(No.9)

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  • 1 (2011.0730 (土) 0240.3800)
  • 2 (2011.0730 (土) 0359.3000)
  • 3 (2011.0730 (土) 0449.1500)
  • 4 (2011.0730 (土) 0559.1100)
  • 5 (2011.0730 (土) 0801.2300)
  • 6 (2011.0730 (土) 0856.5100)
  • 7 (2011.0909 (金) 0229.0900)
  • 8 (2012.0229 (水) 1507.4100)
  • 9 (2013.0622 (土) 1740.1900)
  • 10 (2013.0629 (土) 0620.2200)
  • 11 (2015.0315 (日) 1420.1300)
  • 12 (2015.0315 (日) 1516.0700)
  • 13 (2015.0315 (日) 1631.2900)
  • 14 (2015.0315 (日) 1737.4000)
  • 15 (2015.0315 (日) 2148.1900)
  • 16 (2015.0328 (土) 0517.3200)
  • 17 (2015.0328 (土) 0629.0600)
  • 18 (2015.0328 (土) 1256.3800)
  • 19 (2015.0928 (月) 2036.5500)

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/ベクトル三重積公式
%indent
//
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* 猫式組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
* 凌宮組立術： $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$ [#n15d8c75]
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***(1) 垂直の垂直は元の平面 [#q98f0a98]
;,ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
;,ところが、数式の性質を利用すれば、公式をパズルのように書き出すことができる。

ベクトル三重積の公式は、ベクトル公式の中でも非常に覚えにくい。
しかし、外積の性質を利用すれば、簡単に公式を組み立てられる。
*** (1) 垂直の垂直で元の平面 ＆ 平面上で成分分解 [#q98f0a98]

|&attachref(./BxC.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./Ax(BxC).png,35%,left,around);|
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[md]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A} $$
//$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math + \endmath}} $$
//$$ \iro[ak]{\textcircled{\math - \endmath}} $$

まず、$$ \:B \vx \:C $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$の両方に垂直のため、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直。
同様に、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B \vx \:C $$に垂直。
その結果、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は、
$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
垂直の垂直で元の平面に戻る。
;,まず、左辺の$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$について、
;,外積の性質として$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$の両方に垂直のため、
;,$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を含む平面に垂直。

;,同様に、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[ao]{\:B \vx \:C} $$に垂直。
;,その結果、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は、$$ \:B $$と$$ \:C $$を含む平面に垂直なベクトルに垂直ということで、
;,&font(#06C){垂直};の&font(#C00){垂直};で&font(#080){元の平面};に戻る。

|&attachref(./PerpPerp.png,30%,left,around);|

というわけで、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にある。
;,というわけで、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$と同一平面上にある。
;,よって、$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$は$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$に成分分解できる
((難しい言い方をすると、$$ \iro[md]{\:B} $$と$$ \iro[md]{\:C} $$を平面の基底として、同平面上にある$$ \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$を成分分解できる。))。
;,これを穴埋めの形で書くと、こうなる：
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
;,ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」または「$$ - $$」の符号が入る。

%bodynote
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***(2) 一次結合 [#x3a51524]
***(2) 次元解析 ＆ スカラと言えば内積 [#tcdf37a3]

$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$は$$ \:B $$と$$ \:C $$と同一平面上にあるため、
$$ \:B $$と$$ \:C $$の一次結合に分解できる：
;,次は、$$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $$が３つの文字の掛け算であるため、次元は掛け算の種類を問わず、$$ \:A \:B \:C $$の次元である((次元が良く分らない人は物理単位で考えば良い。例えば、$$ \:A $$が[m]、$$ \:B $$が[s]、$$ \:C $$が[g]とか。))。
;,よって、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$も$$ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$も３文字の掛け算であるべき。
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A ? \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A ? \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)
ここで、$$ \fbox{\phantom{X}} $$にはスカラの係数が、
$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「$$ + $$」か「$$ - $$」のいずれが入る。

''順番注意''： 図を描かずに済ませるため、最後に掛け合わせる$$ \:A $$に近い$$ \:B $$を先に書く必要がある。
;,さらに、係数はスカラ値である必要があるため、$$ ? $$は自ずと内積になる
((実際、２つのベクトルからスカラ値を作る積は内積だけではない。しかし、どれも内積よりはずっと複雑になる。幸い、ベクトル三重積は意外に簡単であるので、一番単純な内積で良い。))。
#ceq(e)
    $$  \iro[ak]{\:A \vx (\:B \vx \:C)} $ = $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)

%bodynote
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***(3) 猫式奥義： 単純則 [#g7555855]
***(3) 符号判定 [#y54d2ea9]

まずは、右辺の第１項$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$に注目する。
左辺にある材料は$$ \:A $$、$$ \:B $$、$$ \:C $$。
この項では$$ \:B $$が既に使われているため、
残っている$$ \:A $$と$$ \:C $$でスカラの係数を簡単に作ることを考えれば良い。
;,外積の交代性で$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$であるため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスになる。
;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
  交代則を成立させるには、２つの$$ \textcircled{\phantom{X}} $$には「＋」と「−」と逆の符号が入る。

２つのベクトルから１つのスカラを作る最も簡単な方法 ── 内積。

というわけで、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $$には$$ \:A \sx \:C $$が入る。
同様に、$$ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$には$$ \:A \sx \:B $$が入る。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

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***(4) 交代則 [#d8d91ff0]

$$ \:B \vx \:C $ = $ - \:C \vx \:B $$のため、右辺も$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したらマイナスにならねばならない。
$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $$で$$ \:B $$と$$ \:C $$が交代したら$$ (\:A \sx \:B) $ \:C $$になるため、
交代則を成立させるには、$$ \textcircled{\phantom{X}} $$に「$$ - $$」を入れるしかない。

よって、$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$

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* (補足) 符号判定 [#e0204185]

ベクトル外積には$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$と$$ \:A \vx \:B \vx \:C $$の２つの書き方があり、
(2)の注意で書かれたように、最後に掛け合わせるベクトルに数式上で近い軸を先に書いていれば、
普通に第１項が「＋」、第２項が「−」になってくれる。

すなわち：
問題は、左辺は２つの書き方があり、掛け方によって符号が逆転する。
#ceq(e)
    $$ \:A \vx (\:B \vx \:C) $$
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:C $$
    $$ \;\Rightarrow\; $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    $$ \;\Rightarrow\; $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(e)
    $$ \:A \vx \:B \vx \:C $$
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ \fbox{\phantom{X}} $ \:B $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \:A $$
    $$ \;\Rightarrow\; $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:A} $ \textcircled{\phantom{X}} $ \fbox{\phantom{X}} $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ (\:C \sx \:A) $ \:B $ - $ (\:C \sx \:B) $ \:A $$
    $$ \;\Rightarrow\; $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)

また、図を描く場合、それぞれ次のように符号を判定できる。
ただ、成分の符号による影響を除外するため、
先に掛け合わせる２つのベクトルとそれらの外積を３つの軸を斜交座標系と見なしたとき、
後から掛けるベクトル向きを全ての成分が正になるように決めるのがコツ。
;,この符号は外積の回転方向を２回も考える必要がある。
;,３次元空間でぐるぐる回るのは結構面倒なので、便宜的な手法ではあるが２次元で済ませたい。
;,さらに、三重積は任意のベクトルで成立するため、次の２つの条件を満たす単純な例で済ませたい。
- 先に掛け合わせるベクトルが互いに垂直
  ((やっていることは$$ \:B \:C $$平面上のベクトルの成分分解であるため、斜交座標より直交座標系を使う方が直角が多くて簡単。))
- 後に掛け加えるベクトルが前の片方と同じ向き
  (($$ \:A $$は空間上に浮いても、$$ \:B \:C $$平面上の成分しか外積の結果に影響を与えないため、$$ \:B \:C $$平面上に乗せても結果は同じ。))
  ((重ねることにより考える成分が１つ減るため、楽が出来る。片方の符号が決まれば他方も決まるため、１成分の符号だけ分れば十分。))

|&attachref(./Ax(BxC)+-.png,35%,left,around);|*
|&attachref(./AxBxC+-.png,35%,left,around);|
;,論はないが証拠、これで（片方の）符号が分る：
|&attachref(./符号判定Ax(BxC).png,35%,left,around);|*
|&attachref(./符号判定(AxB)xC.png,35%,left,around);|

//$$ \iro[md]{\:A} $$
//$$ \iro[md]{\:B} $$
//$$ \iro[ao]{\:C} $$
//$$ \iro[ao]{\:A \vx \:B} $$
//$$ \iro[ak]{\:A \vx \:B \vx \:C} $$
;.$$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$について、
;.まず$$ \iro[md]{\:B} $$に$$ \iro[md]{\:C} $$を''右から''掛けて、$$ \iro[ao]{\:A} $$を''左から''掛ける。
;,ポイントは掛ける向きが逆であるため、向きが打ち消して元の$$ \iro[md]{\:B} $$の向きになる。
;,したがって、$$ \iro[md]{\:B} $$の符号は「$$ + $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:C} $$には逆の「$$ - $$」が付く。
#ceq(e)
    $$ \iro[ao]{\:A} \vx (\iro[md]{\:B} \vx \iro[md]{\:C}) $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ + $ (\:A \sx \:C) $ \iro[md]{\:B} $ - $ (\:A \sx \:B) $ \iro[md]{\:C} $$
#ceq(end)

;.$$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$について、
;.まず$$ \iro[md]{\:A} $$に$$ \iro[md]{\:B} $$を''右から''掛けて、$$ \iro[ao]{\:C} $$をさらに''右から''掛ける。
;,ポイントは掛ける向きが同じであるため、そのまま回し続けて$$ \iro[md]{\:B} $$と逆の向きになる。
;,したがって、$$ \iro[md]{\:A} $$の符号は「$$ - $$」になり、残る$$ \iro[md]{\:B} $$には逆の「$$ + $$」が付く。
#ceq(e)
    $$ (\iro[md]{\:A} \vx \iro[md]{\:B}) \vx \iro[ao]{\:C} $$
#ceq(q)
    $$ \;\Rightarrow\; $ - $ (\:C \sx \:B) $ \iro[md]{\:A} $ + $ (\:C \sx \:A) $ \iro[md]{\:B} $$
#ceq(end)

%bodynote
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