凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$ EditToHeaderToFooter

ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。

凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。

$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$

$$ d\:r^{\wx n} $$$$ = $$$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$$$ d\:q^{\wx m} $$

具体例 EditToHeaderToFooter

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 EditToHeaderToFooter

一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dx $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{x}{u} $$$$ du $$

凌宮表記では全く同じ表記になる。
他の具体例に揃えてベクトル表記で書くと、$$ dr $$$$ = $$$$ dx $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dr $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$$$ du $$

凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底の外積から導出できる。
$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ \wx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

3次元は2次元と同様に考えれば良い。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ du $$

凌宮の導出も同様に、$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ \wx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$
    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS