凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $$ EditToHeaderToFooter

ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。

凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。

$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $$

$$ d\:r^{\wx n} $$$$ = \ddd{\:r^{\wx n}}{\:q^{\wx m}} $$$$ d\:q^{\wx m} $$

具体定義 EditToHeaderToFooter

ベクトル積分は、考えている空間の次元$$ m $$と積分領域の次元$$ n $$により分類できる。
$$ m $$と$$ n $$は共に正自然数であり、$$ m $$$$ \le $$$$ n $$の関係にあるため、$$ m $$次元空間内では$$ \ffd{m(m+1)}{2} $$通りに分かれる。
例えば、3次元までのベクトル解析では、以下の6通りになる。


 
 		on $$ \mathbb{R}^1 $$
1次元空間上の
線上の		on $$ \mathbb{R}^2 $$
2次元空間上の
面上の		on $$ \mathbb{R}^3 $$
3次元空間上の
体上の（胞上の）
$$ \mathbb{R}^1 $$
1次元積分
線積分		$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^1 $$
1次元空間上の1次元積分
線上の線積分		$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^2 $$
2次元空間上の1次元積分
面上の線積分		$$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$
3次元空間上の1次元積分
体上の線積分
$$ \mathbb{R}^2 $$
2次元積分
面積分
 
 		$$ \mathbb{R}^2 $$on $$ \mathbb{R}^2 $$
2次元空間上の2次元積分
面上の面積分		$$ \mathbb{R}^3 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$
3次元空間上の2次元積分
体上の面積分
$$ \mathbb{R}^3 $$
3次元積分
体積分
 
 
 
 		$$ \mathbb{R}^3 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$
3次元空間上の1次元積分
体上の体積分

以下では、ベクトル解析学の知見に基づき、各場合に対し変換係数を個別に定義する。

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 EditToHeaderToFooter

一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dx $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{x}{u} $$$$ du $$

凌宮表記では、同じ表記に定義する。
統一表記で書くと、$$ dr $$$$ = $$$$ dx $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$であり、

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dr $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

高次元での線積分では、成分毎に１次元の変数変換を行えば良い。
変換先が1次元のため、$$ x $$と$$ y $$は$$ u $$のみの関数であり、
変換係数は常微分、つまり１変数関数の微分になる*1。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$$$ du $$

凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積として定義する。
$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ := $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ d\:r $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$

*1 凌宮数学では常微分と偏微分を区別しないが、一般的な数学では厳密に区別するため、注意が必要。

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

3次元は2次元と同様に考えれば良い。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ du $$

凌宮の表記は2次元と同様に、$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ := $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ d\:r $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積比となる。
$$ dx $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{x}{v} $$$$ dv $$、$$ dy $$$$ = $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ dv $$であるため、
$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平行四辺形を張り、面積は$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$。
よって、

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ dx $$$$ dy $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \bigg( $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$$$ \bigg) $$$$ du $$$$ dv $$

この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。

ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$

ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $$$$ = $$$$ \left| \arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } \right| $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ dx $$$$ dy $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} }\right| $$$$ du $$$$ dv $$

この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロス積を用いた表現もある。
3次元空間上の面積分との一貫性の観点では、クロス積表記の方が優れている。

$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{x}{v} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ddd{y}{u} \\ \ddd{y}{v} } $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$

凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義し、
次に$$ d\:S $$$$ = $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ d\:q^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ du \\ dv } $$の表記に合わせて、
1次のヤコビアンから2次のヤコビアンに変換する演算「$$ {}^{\wx2} $$」をクロス積で形式的に定義する。

$$ \ddd{\:r}{\:q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut } $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } $$

$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$$$ = $$$$ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } \right]^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} } $$

$$ S $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $$$$ d\:q^{\wx2} $$

変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、
3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、クロス積を使う事態を考えると、
2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しやすい。

$$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換すれば良い。

$$ \:S $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \arrs{ dy\,dz \\ dz\,dx \\ dx\,dy } $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right|du\,dv \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}du\,dv \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right|du\,dv } $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right| \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}\! \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right| } $$$$ du $$$$ dv $$

3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないため行列式が定義されていないため、
ヤコビアンを用いた変換係数の表記法はこれ以上簡潔にできない。

ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v)} $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$

ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になっているに気づく。
そのため、クロス積で簡潔に記述手法が広く用いられている。

$$ \:S \ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \arrs{ \ppd{y}{u} \ppd{z}{v} - \ppd{z}{u} \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{u} \ppd{x}{v} - \ppd{x}{u} \ppd{z}{v} \\ \ppd{x}{u} \ppd{y}{v} - \ppd{y}{u} \ppd{x}{v} } $$$$ du $$$$ dv $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ $$$$ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{y}{u} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{v} } $$$$ du $$$$ dv $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ $$$$ \ppd{\:r}{u} $$$$ \vx $$$$ \ppd{\:r}{v} $$$$ du $$$$ dv $$

凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、
1次のヤコビアンを定義してからクロス積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
$$ d\:S $$$$ = $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ du \\ dv } $$として、

$$ \ddd{\:r}{\:q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$$$ = $$$$ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } $$

$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$$$ = $$$$ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } \right]^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } $$

$$ S $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $$$$ d\:q^{\wx2} $$

$$ \mathbb{R}^3 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の体積分 EditToHeaderToFooter

一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積比となる。
$$ dx $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{x}{v} $$$$ dw $$$$ + $$$$ \ppd{x}{w} $$$$ dw $$、
$$ dy $$$$ = $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ dw $$$$ + $$$$ \ppd{y}{w} $$$$ dw $$、
$$ dz $$$$ = $$$$ \ppd{z}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{z}{v} $$$$ dw $$$$ + $$$$ \ppd{z}{w} $$$$ dw $$、であるため、
$$ (u,v,w) $$座標上では、$$ dx $$,$$ dy $$,$$ dz $$が平行六面体を張り、
体積はヤコビアンまたはベクトルのスカラ三重積で表せる。

$$ dx $$$$ dy $$$$ dz $$$$ = $$$$ \left| \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right| $$$$ du $$$$ dv $$$$ dw $$

ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} $$$$ = $$$$ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } $$

ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$$$ = $$$$ \left| \arr[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } \right| $$$$ = $$$$ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{z}{u} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{v} } $$$$ \sx $$$$ \arrs{ \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{w} } $$$$ = $$$$ \ppd{\:r}{u} $$$$ \vx $$$$ \ppd{\:r}{v} $$$$ \sx $$$$ \ppd{\:r}{w} $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ dx $$$$ dy $$$$ dz $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$$$ du $$$$ dv $$$$ dw $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \ppd{\:r}{u} $$$$ \vx $$$$ \ppd{\:r}{v} $$$$ \sx $$$$ \ppd{\:r}{w} $$$$ du $$$$ dv $$$$ dw $$

凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、
1次のヤコビアンを定義してからスカラ三重積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
$$ d\:S $$$$ = $$$$ d\:r^{\wx3} $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx3} $$$$ = $$$$ \arrs{ du \\ dv \\ dw } $$として、

$$ \ddd{\:r}{\:q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} \\ \ffd{1}{dw} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$$$ = $$$$ \arrs[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } $$

$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx3} $$$$ = $$$$ \left[ \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right]^{\wx3} $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ \vx $$$$ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } \sx $$$$ \arrs{ \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{w} } $$

$$ S $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ d\:r^{\wx3} $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx3} $$$$ d\:q^{\wx3} $$

各表記による変換係数の記述 EditToHeaderToFooter

以下に、表記毎に纏める。
3次元のベクトル解析で扱う空間と積分は以下の6通り。

凌宮表記 EditToHeaderToFooter

$$ m $$次元空間上の$$ n $$次元積分：$$ \mathbb{R}^m $$ on $$ \mathbb{R}^n $$では、
統一的に$$ \int_\gDl $$$$ d\:r^n $$$$ = $$$$ \int_\gDl $$$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right) $$$$ d\:q^m $$で表せる。

 on $$ \mathbb{R}^1 $$on $$ \mathbb{R}^2 $$on $$ \mathbb{R}^3 $$
$$ \mathbb{R}^1 $$1次元空間上の1次元積分
線上の線積分		2次元空間上の1次元積分
面上の線積分		3次元空間上の1次元積分
体上の線積分
$$ \mathbb{R}^2 $$ 2次元空間上の2次元積分
面上の面積分		3次元空間上の2次元積分
体上の面積分
$$ \mathbb{R}^3 $$  3次元空間上の3次元積分
体上の体積分
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Last-modified: 2019.0727 (土) 0200.1100 (1736d)