ベクトル積分の変数変換係数 のバックアップソース(No.2)

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* 凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$ [#scd6f8f0]

;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。

;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$
#ceq(e)
  $$ d\:r^{\wx n} $ = $ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $ d\:q^{\wx m} $$
#ceq(d)

* 具体例 [#ra90c39d]
** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 [#s484b678]

;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} $ du $$
#ceq(d)

;;凌宮表記では全く同じ表記になる。
;,他の具体例に揃えてベクトル表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} $ dq $$
#ceq(d)

** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 [#fc56dfc2]
;;高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
  $$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$
  $$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ du $$
#ceq(d)

;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底の外積から導出できる。
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
  $$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \wx $ d\:r $$
  $$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy } $$
  $$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)

** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 [#v6bb6781]
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
  $$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$
  $$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ du $$
#ceq(d)

;;凌宮の導出も同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
  $$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \wx $ d\:r $$
  $$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
  $$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
#ceq(e)
  $$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)