凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$ EditToHeaderToFooter

ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。

凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。

$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$

$$ d\:r^{\wx n} $$$$ = $$$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$$$ d\:q^{\wx m} $$

具体例 EditToHeaderToFooter

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 EditToHeaderToFooter

一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dx $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{x}{u} $$$$ du $$

凌宮表記では全く同じ表記になる。
他の具体例に揃えてベクトル表記で書くと、$$ dr $$$$ = $$$$ dx $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ dr $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$$$ du $$

凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底の外積から導出できる。
$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ \wx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy } $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

3次元は2次元と同様に考えれば良い。

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$$$ du $$

凌宮の導出も同様に、$$ d\:r $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $$$$ = $$$$ du $$として、

$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ = $$$$ \ffd{1}{dq} $$$$ \wx $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \ffd{1}{du} $$$$ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$$$ = $$$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gGm $$$$ \ddd{\:r}{q} $$$$ dq $$

$$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 EditToHeaderToFooter

一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平方四辺形の面積の比となる。
$$ dx $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{x}{v} $$$$ dv $$、$$ dy $$$$ = $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ du $$$$ + $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ dv $$であるため、
$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平方四辺形を張り、面積は$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$。
よって、

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ dx $$$$ dy $$$$ \int_\gSg $$$$ = $$$$ \bigg( $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$$$ \bigg) $$$$ du $$$$ dv $$

この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。

ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $$$$ = $$$$ \arrb[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } $$

ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $$$$ = $$$$ \left| \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } \right| $$$$ = $$$$ \ppd{x}{u} $$$$ \ppd{y}{v} $$$$ - $$$$ \ppd{y}{u} $$$$ \ppd{x}{v} $$

$$ L $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ dx $$$$ dy $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \left|\arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} }\right| $$$$ dx $$$$ dy $$

対して、凌宮表記では外積から導かれる。$$ d\:S $$$$ = $$$$ d\:r^{\wx2} $$$$ = $$$$ \arrs{ dx \\ dy} $$、$$ d\:q^2 $$$$ = $$$$ \arrs{ du \\ dv} $$として、

$$ S $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ d\:r $$$$ = $$$$ \int_\gSg $$$$ \ddd{\:r}{\:q} $$$$ d\:q $$

変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、
3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、クロス積を使う事態を考えると、
2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しやすい。

*1 凌宮の微分表記では常微分と偏微分を区別せず、基底の表記に揃えるべく全て$$ d $$で記述する。
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