%indent
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* 凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$ [#scd6f8f0]
;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。
;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$
#ceq(e)
$$ d\:r^{\wx n} $ = $ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $ d\:q^{\wx m} $$
#ceq(d)
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* 具体例 [#ra90c39d]
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 [#s484b678]
;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では全く同じ表記になる。
;,他の具体例に揃えてベクトル表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 [#fc56dfc2]
;;高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底の外積から導出できる。
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \wx $ d\:r $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 [#v6bb6781]
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮の導出も同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \wx $ d\:r $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 [#ab120830]
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平方四辺形の面積の比となる。
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dv $$、
;.$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dv $$であるため、
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平方四辺形を張り、
;.面積は$$ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$。
;,よって、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ \int_\gSg $ = $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $ \bigg) $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
;,これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $ = $ \arrb[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } $$
#ceq(e)
ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $ = $ \left| \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } \right| $$
;.$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} }\right| $ dx $ dy $$
#ceq(d)
;;対して、凌宮表記では外積から導かれる。
;.$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy} $$、$$ d\:q^2 $ = $ \arrs{ du \\ dv} $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $ = $ \ffd{1}{d\:q} $ \wx $ d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } $ \vx $ \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut } $$
$$ = $ \ddd{x}{u} $ \ddd{y}{v} $ - $ \ddd{y}{u} $ \ddd{x}{v} $$ ((凌宮の微分表記では常微分と偏微分を区別せず、基底の表記に揃えるべく全て$$ d $$で記述する。))
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r $ = $ \int_\gSg $ \ddd{\:r}{\:q} $ d\:q $$
#ceq(d)
;,変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、
;,3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、クロス積を使う事態を考えると、
;,2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しやすい。
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