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* 凌宮表記術： $$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$ [#scd6f8f0]
;;ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。
;,その変数変換が線面体の違いと考えている次元の違いで、異なる形の式に化ける。
;,その上、統一した表記法も確立してないため、高い学習コストを要する。
;;凌宮数学では、基底積により微分基底を$$ d\:r^{\wx n} $$の形で記述できることから、
;,変数変換係数は変換前後の基底積の割算で表記する。
;;$$ d\:r^{\wx n} $$から$$ d\:q^{\wx m} $$への変数変換係数：$$ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $$
#ceq(e)
$$ d\:r^{\wx n} $ = $ \left(\ffd{d\:r}{d\:q}\right)^{\wx m} $ d\:q^{\wx m} $$
#ceq(d)
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* 具体例 [#ra90c39d]
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^1 $$： 1次元空間上の線積分 [#s484b678]
;;一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dx $ = $ \int_\gGm $ \ddd{x}{u} $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では、同じ表記に定義する。
;,他の具体例に揃えてベクトル表記で書くと、$$ dr $ = $ dx $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ dr $ = $ \int_\gGm $ \ddd{r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 [#fc56dfc2]
;;高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積として定義する。
;,$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \tx $ d\:r $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \tx $ \arrs{ dx \\ dy } $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^1 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 [#v6bb6781]
;;3次元は2次元と同様に考えれば良い。
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u}du \\ \ddd{y}{u}du \\ \ddd{z}{u}du } $$
$$ = $ \int_\gGm $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ du $$
#ceq(d)
;;凌宮の表記は2次元と同様に、
;.$$ d\:r $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$、$$ dq $ = $ du $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{q} $ = $ \ffd{1}{dq} $ \tx $ d\:r $$
$$ = $ \ffd{1}{du} $ \tx $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz } $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gGm $ d\:r $ = $ \int_\gGm $ \ddd{\:r}{q} $ dq $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^2 $$： 2次元空間上の面積分 [#ab120830]
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平方四辺形の面積の比となる。
;;一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積比となる。
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dv $$、
;.$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dv $$であるため、
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平方四辺形を張り、
;,$$ (u,v) $$座標上では、$$ dx $$と$$ dy $$が平行四辺形を張り、
;.面積は$$ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$。
;,よって、
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ \int_\gSg $ = $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $ \bigg) $ du $ dv $$
$$ = $ \int_\gSg $ \bigg( $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $ \bigg) $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,この変換係数には、変換元$$ (x,y) $$の変換先$$ (u,v) $$に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
;,これらを成分に持つヤコビ行列の行列式でも表現できる。
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$
#ceq(e)
ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y)}{(u,v)} \right| $ = $ \left| \arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } \right| $$
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} }\right| $ dx $ dy $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left|\arr[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} }\right| $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロス積を用いた表現もある。
;,3次元空間上の面積分との一貫性の観点では、クロス積表記の方が優れている。
#ceq(e)
$$ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{x}{v} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{y}{u} \\ \ddd{y}{v} } $$
$$ = $ \ppd{x}{u} $ \ppd{y}{v} $ - $ \ppd{y}{u} $ \ppd{x}{v} $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義し、
;,次に$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy } $$、$$ d\:q^{\wx2} $ = $ \arrs{ du \\ dv } $$の表記に合わせて、
;,1次元のヤコビアンから2次元のヤコビアンに変換する演算「$$ {}^{\wx2} $$」をクロス積で形式的に定義する。
;,1次のヤコビアンから2次のヤコビアンに変換する演算「$$ {}^{\wx2} $$」をクロス積で形式的に定義する。
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} } \right]^{\wx2} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $ d\:q^{\wx2} $$
#ceq(d)
;,変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、
;,3次元空間上の2次元曲面の変換係数がヤコビアンで表せず、クロス積を使う事態を考えると、
;,2次元空間上の変換係数もクロス積で解釈できた方が整理しやすい。
%bodynote
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** $$ \mathbb{R}^2 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の面積分 [#v0a61163]
;;高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換すれば良い。
#ceq(e)
$$ \:S $ = $ \int_\gSg $ \arrs{ dy\,dz \\ dz\,dx \\ dx\,dy } $$
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right|du\,dv \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}du\,dv \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right|du\,dv } $$
$$ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \left|\ppd{(y,z)}{(u,v)}\right| \\ \left|\ppd{(z,x)}{(u,v)}\right|\vphantom{\Bigg|}\! \\ \left|\ppd{(x,y)}{(u,v)}\right| } $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないため行列式が定義されていないため、
;,ヤコビアンを用いた変換係数の表記法はこれ以上簡潔にできない。
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v)} $ = $ \arrs[cc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} } $$
#ceq(d)
;,ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になっているに気づく。
;,そのため、クロス積で簡潔に記述手法が広く用いられている。
#ceq(e)
$$ \:S \ = $ \int_\gSg $ \arrs{ \ppd{y}{u} \ppd{z}{v} - \ppd{z}{u} \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{u} \ppd{x}{v} - \ppd{x}{u} \ppd{z}{v} \\ \ppd{x}{u} \ppd{y}{v} - \ppd{y}{u} \ppd{x}{v} } $ du $ dv $$
$$ = $ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{v} } $ du $ dv $$
$$ = $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ du $ dv $$
$$ = $ \int_\gSg $ $ \arrs{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{y}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{y}{v} } $ du $ dv $$
$$ = $ \int_\gSg $ $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ du $ dv $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、
;,1次元のヤコビアンを定義してからクロス積で2次元のヤコビアンを形式的に定義する。
;,1次のヤコビアンを定義してからクロス積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx2} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx2} $ = $ \arrs{ du \\ dv } $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx2} $$
$$ = $ \left[ \arr[cc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} } \right]^{\wx2} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{v} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx2} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx2} $ d\:q^{\wx2} $$
#ceq(d)
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** $$ \mathbb{R}^3 $$ on $$ \mathbb{R}^3 $$： 3次元空間上の体積分 [#e51ce955]
;;一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積比となる。
;,$$ dx $ = $ \ppd{x}{u} $ du $ + $ \ppd{x}{v} $ dw $ + $ \ppd{x}{w} $ dw $$、
;,$$ dy $ = $ \ppd{y}{u} $ du $ + $ \ppd{y}{v} $ dw $ + $ \ppd{y}{w} $ dw $$、
;,$$ dz $ = $ \ppd{z}{u} $ du $ + $ \ppd{z}{v} $ dw $ + $ \ppd{z}{w} $ dw $$、であるため、
;,$$ (u,v,w) $$座標上では、$$ dx $$,$$ dy $$,$$ dz $$が平行六面体を張り、
;,体積はヤコビアンまたはベクトルのスカラ三重積で表せる。
#ceq(e)
$$ dx $ dy $ dz $ = $ \left| \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right| $ du $ dv $ dw $$
#ceq(d)
#ceq(e)
ヤコビ行列：$$ \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} $ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } $$
#ceq(e)
ヤコビアン：$$ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $$
$$ = $ \left| \arr[ccc]{ \ppd{x}{u} & \ppd{x}{v} & \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{u} & \ppd{y}{v} & \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{u} & \ppd{z}{v} & \ppd{z}{w} } \right| $$
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ppd{x}{u} \\ \ppd{y}{u} \\ \ppd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ppd{x}{v} \\ \ppd{y}{v} \\ \ppd{z}{v} } $ \sx $ \arrs{ \ppd{x}{w} \\ \ppd{y}{w} \\ \ppd{z}{w} } $$
$$ = $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\:r}{w} $$
#ceq(e)
$$ L $ = $ \int_\gSg $ dx $ dy $ dz $$
$$ = $ \int_\gSg $ \left| \ppd{(x,y,z)}{(u,v,w)} \right| $ du $ dv $ dw $$
$$ = $ \int_\gSg $ \ppd{\:r}{u} $ \vx $ \ppd{\:r}{v} $ \sx $ \ppd{\:r}{w} $ du $ dv $ dw $$
#ceq(d)
;,凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、
;,1次のヤコビアンを定義してからスカラ三重積で2次のヤコビアンを形式的に定義する。
;,$$ d\:S $ = $ d\:r^{\wx3} $ = $ \arrs{ dx \\ dy \\ dz} $$、$$ d\:q^{\wx3} $ = $ \arrs{ du \\ dv \\ dw } $$として、
#ceq(e)
$$ \ddd{\:r}{\:q} $$
$$ = $ \ffd{1}{d\:q} \tx d\:r $$
$$ = $ \arrs{ \ffd{1}{du} \\ \ffd{1}{dv} \\ \ffd{1}{dw} } \tx \arrs{ dx\ffdstrut \\ dy\ffdstrut \\ dz\ffdstrut } $$
$$ = $ \arrs[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } $$
#ceq(e)
$$ \left( \ddd{\:r}{\:q} \right)^{\wx3} $$
$$ = $ \left[ \arr[ccc]{ \ddd{x}{u} & \ddd{x}{v} & \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{u} & \ddd{y}{v} & \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{u} & \ddd{z}{v} & \ddd{z}{w} } \right]^{\wx3} $$
$$ = $ \arrs{ \ddd{x}{u} \\ \ddd{y}{u} \\ \ddd{z}{u} } $ \vx $ \arrs{ \ddd{x}{v} \\ \ddd{y}{v} \\ \ddd{z}{v} } \sx $ \arrs{ \ddd{x}{w} \\ \ddd{y}{w} \\ \ddd{z}{w} } $$
#ceq(e)
$$ S $ = $ \int_\gSg $ d\:r^{\wx3} $ = $ \int_\gSg $ \left(\ddd{\:r}{\:q}\right)^{\wx3} $ d\:q^{\wx3} $$
#ceq(d)
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