ベクトル積分の変数変換係数 のバックアップ(No.8) |
凌宮表記術: からへの変数変換係数ベクトル積分は、線積分、面積分、体積分があり、座標系の違いや計算の都合で変数変換が良く用いられる。 凌宮数学では、基底積により微分基底をの形で記述できることから、 からへの変数変換係数: 具体例on : 1次元空間上の線積分一般に、1次元から1次元の変数変換は常微分で表される。 凌宮表記では、同じ表記に定義する。 on : 2次元空間上の面積分高次元での線積分では、成分ごとに変数変換すれば良い。 凌宮表記では、変換係数を正基底と逆基底のテンソル積として定義する。 on : 3次元空間上の面積分3次元は2次元と同様に考えれば良い。 凌宮の表記は2次元と同様に、、として、 on : 2次元空間上の面積分一般に、2次元から2次元の変数変換は微小平行四辺形の面積比となる。 この変換係数には、変換元の変換先に対する偏微分の全組み合わせが出揃っていて、
この他、あまり用いられないものの、2次元のベクトルのクロス積を用いた表現もある。 凌宮表記では、まず1次元ヤコビアンをテンソル積として定義し、 変形の途中で現れる2次元のクロス積はあまり広く使われてないが、 on : 3次元空間上の面積分高次元での面積分では、線積分と同様に成分ごとに変数変換すれば良い。 3×2のヤコビ行列自体は定義されているが、正方行列でないため行列式が定義されていないため、
ところで、2x2のヤコビアンを展開すると、交差積になっているに気づく。 凌宮表記では、2次元空間上の面積分と同様に、 on : 3次元空間上の体積分一般に、3次元から3次元の変数変換は微小平行六面体の体積比となる。
凌宮表記では、3次元空間上の面積分を真似て、 各表記による変換係数の記述以下に、表記毎に纏める。
凌宮表記
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