回転公式のバックアップソース(No.11) < ベクトル微分演算子

/回転公式
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** 予備知識 [#u27fffb4]
- [[ベクトル微分演算子]]
- [[ベクトル三重積公式]]

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** 回転と元ベクトルの外積 [#ycfe8cfc]

$$
  \:F \vx (\:\nabla \vx \:F)
   = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F
$$

左辺$$ = $ \:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    積の微分$$ d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G $$のための式変形
    (($$ d(F^2) = 2FdF $$のベクトル版$$ d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い))
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

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** 外積の回転 [#a186c1a1]

$$
  \:\nabla \vx (\:F \vx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla) \:F
   - (\:F \sx \:\nabla) \:G
   + (\:\nabla \sx \:G) \:F
   - (\:\nabla \sx \:F) \:G
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (d\:F \vx \:G) $ + $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (\:F \vx d\:G) $$
#ceq
    積の微分：$$ d(\:F \vx \:G) $ = $ d\:F \vx \:G $ + $ \:F \vx d\:G $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:G \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $  \:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $  \:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:F \Big) $ d\:G $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B $ \vx $ \:C) $ = $ (\:A $ \sx $ \:C) $ \:B $ - $ (\:A $ \sx $ \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
#ceq
    内積の交換則：$$ \:A $ \sx $ \:B $ = $ \:B $ \sx $ \:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
    $$ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

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** 回転の回転 [#a186c1a1]

$$
  \:\nabla $ \vx $ (\:\nabla \vx \:F)
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ (\:\nabla \sx \:\nabla) $ \:F
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ \triangle $ \:F
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d^2\:F \Big) $$
#ceq
    $$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$は$$ d $$と交換可能。
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    倍積の交換則：$$ A \:B $ = $ \:B A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq
    ラプラス演算子の猫式表記分数形表記：$$ \:\triangle \:F $ \Leftrightarrow $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

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** 内積の勾配（回転に展開） [#mbdbf5b0]
$$
  \:\nabla (\:F \sx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla)\:F
   + (\:F \sx \:\nabla)\:G
   + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G)
   + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ d $ ( $ \:F $ \sx $ \:G $ ) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ ( $ d\:F $ \sx $ \:G $ + $ \:F $ \sx $ d\:G $ ) $$ 
#ceq(q)
    積の微分
#ceq(e)
    $$ = $ ( $ d\:F $ \sx $ \:G $ ) $ \ffd{1}{d\:r} $ + $ ( $ \:F $ \sx $ d\:G $ ) $ \ffd{1}{d\:r} $$ 
#ceq(q)
    ;,三重積を通常表記に戻すために因子を入換える必要があり、ベクトル三重積の公式を使う
    ((ベクトル三重積の公式は、左辺は外積・外積で、右辺が内積・倍積（スカラ倍）の三重積であることに注意。))
    ;,$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    ;,右辺第１項を左辺に移動した式を使用：$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $ = $ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ + $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \:G $ \vx $ ( $ d\:F $ \vx $ \ffd{1}{d\:r} $) $ + $ ( $ \:G \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ ) $ d\:F $$
    
#ceq(end)

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ベクトル微分演算子/回転公式 のバックアップソース(No.11)

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