回転公式のバックアップソース(No.15) < ベクトル微分演算子

/回転公式
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* 予備知識 [#m018dcc6]
- [[ベクトル微分演算子]]
- [[ベクトル三重積公式]]

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 回転公式 [#o5d2529e]
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 回転と元ベクトルの外積 [#eea6bdcf]

$$
  \:F \vx (\:\nabla \vx \:F)
   = \ffd12 \:\nabla(\:F^2) - (\:F \sx \:\nabla) \:F
$$

左辺$$ = $ \:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq
    積の微分$$ d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G $$のための式変形
    (($$ d(F^2) = 2FdF $$のベクトル版$$ d(\:F^2) \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F $$のための式変形と解釈しても良い))
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{2} \ffd{d(\:A^2)}{d\:r} $ - $ \Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

%bodynote

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 外積の回転 [#hcbc2d2b]
$$
  \:\nabla \vx (\:F \vx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla) \:F
   - (\:F \sx \:\nabla) \:G
   + (\:\nabla \sx \:G) \:F
   - (\:\nabla \sx \:F) \:G
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d(\:F \vx \:G) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (d\:F \vx \:G) $ + $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ (\:F \vx d\:G) $$
#ceq
    積の微分：$$ d(\:F \vx \:G) $ = $ d\:F \vx \:G $ + $ \:F \vx d\:G $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:G \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $  \:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $  \:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $  \:F \Big) $ d\:G $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B $ \vx $ \:C) $ = $ (\:A $ \sx $ \:C) $ \:B $ - $ (\:A $ \sx $ \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
#ceq
    内積の交換則：$$ \:A $ \sx $ \:B $ = $ \:B $ \sx $ \:A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:F $$
    $$ - $ \Big(\:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d\:G $$
    $$ + $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:G \Big) $ \:F $$
    $$ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d\:F \Big) $ \:G $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 回転の回転 [#u9fd4fe3]
$$
  \:\nabla $ \vx $ (\:\nabla \vx \:F)
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ (\:\nabla \sx \:\nabla) $ \:F
   = \:\nabla $ (\:\nabla \sx \:F) $ - $ \triangle $ \:F
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F \Big) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d^2\:F \Big) $$
#ceq
    （$$ d\:r $$が$$ \:r $$に依存しない限り）$$ \ffd{1}{d\:r} \vx $$と$$ d $$は交換可能。
#ceq(e)
    $$ = $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    ベクトル三重積：$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} \Big) $ d^2\:F $$
#ceq
    倍積の交換則：$$ A \:B $ = $ \:B A $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big(\ffd{1}{d\:r} $ \sx $ d^2\:F \Big) $ - $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq
    ラプラス演算子の猫式表記分数形表記：$$ \:\triangle \:F $ \Leftrightarrow $ \ddd{^2\:F}{\:r^2} $$
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 内積の勾配 [#y9bc4410]
$$
  \:\nabla (\:F \sx \:G)
   = (\:G \sx \:\nabla)\:F
   + (\:F \sx \:\nabla)\:G
   + \:F \vx (\:\nabla \vx \:G)
   + \:G \vx (\:\nabla \vx \:F)
$$

左辺$$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ d( $ \:F $ \sx $ \:G $ ) $$
#ceq(e)
    $$ = $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big( $ d\:F $ \sx $ \:G $ + $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $$ 
#ceq(a)
    積の微分
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \Big( $ \:F $ \sx $ d\:G $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$ 
&br;$$ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ d\:F $ \Big) $ \ffd{1}{d\:r} $$
#ceq(a)
    ;,通常表記に戻すため、三重積の因子を入換える必要がある。
    ;,内積とスカラ倍の三重積であるため、ベクトル三重積の公式を使用：
    ;,$$ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ = $ (\:A \sx \:C) $ \:B $ - $ (\:A \sx \:B) $ \:C $$
    （右辺第１項に合わせて式変形）
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \:F $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:G $ \Big) $ + $ \Big( $ \:F $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ \Big( $ \ffd{1}{d\:r} $ \vx $ d\:F $ \Big) $ + $ \Big( $ \:G $ \sx $ \ffd{1}{d\:r} $ \Big) $ d\:F $$
#ceq(a)
    ;,ベクトル三重積公式の右辺第１項を左辺について解いて利用：
    ;,$$ (\:A \sx \:C) $ \:B $ = $ \:A $ \vx $ (\:B \vx \:C) $ + $ (\:A \sx \:B) $$
    ((括弧の外に出す因子を決める際、外積の$$ \ffd{1}{d\:r} $$と$$ d $$を優先的に結合させることがコツ。内積の方は離れても通常表記で対処できる。))
    ((逆に内積を優先的に結合させても、$$ ( $ \:G $ \vx $ \:\nabla $ ) $ \vx $ \:F $$の項を含んだ別の公式になるだけで、式変形自体は可能である。))
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $ \:F $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:G $ ) $ + $ ( $ \:F $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:G $$
&br;$$ + $ \:G $ \vx $ ( $ \:\nabla $ \vx $ \:F $ ) $ + $ ( $ \:G $ \sx $ \:\nabla $ ) $ \:F $$
#ceq(a)
    通常表記では、$$ (\:A \sx \:\nabla) \:B $$で$$ \Big(\:A \sx \ddd{}{\:r}\Big) \:B $$を表す。
#ceq(e)
#ceq(e)
    $$ = $$右辺
#ceq(end)

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////
ベクトル微分演算子/回転公式 のバックアップソース(No.15)

ベクトル微分演算子/回転公式のバックアップソース(No.15)
