回転公式のバックアップ(No.2) < ベクトル微分演算子

外積の回転

$\:\nabla \vx (\:F \vx \:G) = (\:G \sx \:\nabla) \:F - (\:F \sx \:\nabla) \:G + (\:\nabla \sx \:G) \:F - (\:\nabla \sx \:F) \:G$

猫式導出：

左辺 $$ = $$ $\ffd{1}{d\:r} \vx d(\:F \vx \:G)$

$\ffd{1}{d\:r} \vx (d\:F \vx \:G) + \ffd{1}{d\:r} \vx (\:F \vx d\:G)$	積の微分： $d(\:F \vx \:G) = d\:F \vx \:G + \:F \vx d\:G$
$\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:G \Big) d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx \:F \Big) d\:G$	外積の外積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$
$\Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$ $\Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$	内積の交換則： $\:A \sx \:B = \:B \sx \:A$
$\Big(\:G \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:F$ $\Big(\:F \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:G$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:G \Big) \:F$ $\Big(\ffd{1}{d\:r} \sx d\:F \Big) \:G$
右辺

ナブラ表記： $\:F \vx (\:\nabla \vx \:F) = \ffd12 \:\nabla |\:F|^2 - (\:F \sx \:\nabla) \:F$

猫式導出：

左辺 $$ = $$ $\:A \vx \Big(\ffd{1}{d\:r} \vx d\:A \Big)$

$\Big(\:A \sx d\:A \Big) \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	外積の外積： $\:A \vx (\:B \vx \:C) = (\:A \sx \:C) \:B - (\:A \sx \:B) \:C$
$\ffd{d\:A \sx \:A + \:A \sx d\:A}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$	積の微分 $d(\:F \sx \:G) = d\:F \sx \:G + \:F \sx d\:G$ のための式変形*1
$\ffd{d(\:A \sx \:A)}{2} \ffd{1}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$
$\ffd{1}{2} \ffd{d\|\:A\|^2}{d\:r}$ $\Big(\:A \sx \ffd{1}{d\:r} \Big) d\:A$

のベクトル版 $d\:F^2 \equiv d(\:F \sx \:F) = 2\:F \sx d\:F$ のための式変形と解釈しても良い