• 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
/ベクトル微分演算子
%indent
////////////////////////////////////////////////////////////////
* $$ F $$をベクトル$$ \b r $$で微分 [#nb6b6566]
* $$ F $$をベクトル$$ \:r $$で微分 [#nb6b6566]

ベクトル微分演算には勾配、回転、発散があり、
ベクトル表記は主に次の二系統。
- 文字名:$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$
- ナブラ:$$ \nabla $$、$$ \nabla \vx $$、$$ \nabla \sx $$
ベクトル表記は主に次の二系統ある。
- 関数表記:$$ \grad $$、$$ \rot $$、$$ \diver $$
- ナブラ表記:$$ \:\nabla $$、$$ \:\nabla \vx $$、$$ \:\nabla \sx $$

ナブラの使った表記では、ナブラに対して通常のベクトル公式を使えるため、新たに公式を覚える必要が無い。
そのため、ベクトル微分公式を覚えるしかない文字名を使った表記よりは便利。
しかし、ベクトルと微分が分離されてないため、まだ改善余地がある。
ナブラは微分演算子として、右の式を微分対象と見なす。
一方、ナブラはベクトルでもあるため、ベクトル公式に従って移動する。
この結果、ナブラが常に微分対象の左に書けるとは限らない。
ナブラ表記では、ベクトル演算をベクトル演算子で表記しているため、
ベクトル微分の計算にベクトル演算の公式が利用できるなど、関数表記より便利な場合が多い。
しかし、ナブラを微分対象の左隣に書かねばならない制約のため一部のベクトル計算で支障が出るため、まだ改善する余地がある。
また、$$ \ddd{f}{x} $$のような分数形ではないため、ベクトル微分における連鎖則を約分の感覚で扱えない。

これに対し、猫式では「$$ \nabla $$」を「$$ \ddd{}{\b r} $$」と定義。
$$ \ffd{1}{d \b r} $$でベクトルを示し、$$ d $$で微分対象を示すことで、ベクトル微分の形式的な分離を実現。
これに対し、
猫式では$$ \ffd{1}{d \:r} $$でベクトルを、$$ d $$で微分対象を示し、
ベクトル微分演算子を次のように定義し、ベクトル演算と微分演算の表記上での分離を実現する。

|CENTER:|CENTER: |CENTER:                 |CENTER:                        |CENTER:                        |c
|*流派  |<       |*勾配                   |*回転                          |*発散                          |
|文字名 |<       |$$ \grad  F           $$|$$ \rot       \b F           $$|$$ \diver     \b F           $$|
|ナブラ |<       |$$ \nabla F           $$|$$ \nabla \vx \b F           $$|$$ \nabla \sx \b F           $$|
|猫式   |演算子形|$$ \ddd{}{\b r}F      $$|$$ \ddd{}{\b r}\vx \b F      $$|$$ \ddd{}{\b r}\sx \b F      $$|
|^      |分数形  |$$ \ddd{F}{\b r}      $$|$$ \ddd{\,\vx \b F}{\b r}    $$|$$ \ddd{\, \sx \b F}{\b r}   $$|
|^      |分離形  |$$ \ffd{1}{d \b r} dF $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\vx d \b F $$|$$ \ffd{1}{d \b r}\sx d \b F $$|
|c:        |c:      |c:                     |c:                           |c:                           |c
|*流派     |<       |*勾配                  |*回転                        |*発散                        |
|関数表記  |<       |$$ \grad  F          $$|$$ \rot       \:F          $$|$$ \diver     \:F          $$|
|ナブラ表記|<       |$$ \:\nabla F        $$|$$ \:\nabla \vx \:F        $$|$$ \:\nabla \sx \:F        $$|
|猫式表記  |演算子形|$$ \ddd{}{\:r}F      $$|$$ \ddd{}{\:r}\vx \:F      $$|$$ \ddd{}{\:r}\sx \:F      $$|
|^         |分数形  |$$ \ddd{F}{\:r}      $$|$$ \ddd{\,\vx \:F}{\:r}    $$|$$ \ddd{\, \sx \:F}{\:r}   $$|
|^         |分離形  |$$ \ffd{1}{d \:r} dF $$|$$ \ffd{1}{d \:r}\vx d \:F $$|$$ \ffd{1}{d \:r}\sx d \:F $$|

ここで、演算子形はナブラと完全互換な書式、
分数形は1次元の微分と似せた書式、
分離形は微分演算とベクトル演算が独立して行うための書式である。
ここで、演算子形はナブラと完全互換な書式である。
$$ \ffd{1}{d \:r} $$は$$ \:\nabla $$の単なる記号の書き換えである
((表記上$$ \:r $$は積分対象の独立変数と捕らえることができるため、ナブラよりは情報量が高い。これは熱力学など独立変数が変わる場合に便利。))。
分数形は連鎖側の見通しを良くするべく、1次元の微分と似せた書式である。
分離形は微分演算とベクトル演算が独立して行うため、ベクトル演算とその演算対象、および、微分演算とその演算対象を全て分けて表記する書式である。
これらの間は分数の感覚で自由に行き来できる。

%bodynote

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 分数形:勾配を含む連鎖則 [#ae17ca19]

$$ r $$がスカラの場合、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{r} \ddd{r}{t} $$が$$ F(r(t)) $$に対する連鎖則。
分数形で記述する場合、あくまでも形式的だが、約分の感覚で直観的に式変形できる。

$$ \b r $$がベクトルの場合、$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx \ddd{r}{t} $$が$$ F(\b r(t)) $$に対する連鎖則。
ナブラを使っても$$ \ddd{F}{t} = \nabla F \sx \ddd{\b r}{t} $$。
微分に関しては、文字名もナブラも表現力に差はない。
$$ \:r $$がベクトルの場合、$$ \ddd{F}{t} = \grad F \sx \ddd{r}{t} $$が$$ F(\:r(t)) $$に対する連鎖則。
ナブラ表記でも$$ \ddd{F}{t} = \:\nabla F \sx \ddd{\:r}{t} $$と、表現力において関数表記と大差ない。

猫式分数形で書けば、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{\b r} \sx \ddd{\b r}{t} $$になる。
スカラの積がスカラ内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残り、式を直観的に操作できる。
猫式表記の分数形で書けば、$$ \ddd{F}{t} = \ddd{F}{\:r} \sx \ddd{\:r}{t} $$になる。
スカラの積が内積になることを除けば、連鎖則の姿がそのまま生き残り、式を直観的に操作できる。
もっとも、スカラが1次元のベクトルと見なせて、その場合内積がスカラの積に対応するため、この式をスカラにも適応できる。

////////////////////////////////////////////////////////////////
* 分離形:勾配対外積の分配則 [#f34c4419]
* 分離形:外積を含む分配則 [#f34c4419]

外積勾配の公式:$$ \grad(\b F \vx \b G) = \b G \sx (\rot \b F) - \b F \sx (\rot \b G) $$
ベクトルの外積は$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$のように、交換則の代わりに、交代則が成り立つ。
一方、ナブラは右側しか微分しないため、$$ - \:\nabla \vx \:A = \:A \vx \:\nabla $$と書けない。
高が符号一つだが、回転に対応する外積の交代則を記述できないがために、回転を含む微分演算の妨げになる。

ナブラを使う場合、微分対積の分配則とスカラー三重積の交換則で計算可能。
ただし、計算途中で作用対象が離れるため、工夫が必要。
良く見かける手法として、ナブラと作用対象を線または矢印で結ぶ記法がある。~
////////////////////////////////////////////////////////////////
** 外積の勾配 [#zb6112ac]

外積の勾配の公式:$$ \grad(\:F \vx \:G) = \:G \sx (\rot \:F) - \:F \sx (\rot \:G) $$

ナブラ表記を使えば、積の微分、スカラ三重積の交換則、外積の交代則から形式的に導き出すことができる。
- 積の微分:$$ d(\:A \vx \:B) = (d\:A) \vx \:B + \:A \vx (d\:B) $$
- スカラ三重積の交換則:$$ \:A \sx (\:B \vx \:C) = \:B \sx (\:C \vx \:A) = \:B \sx (\:C \vx \:A) $$
- 外積の交代則:$$ \:A \vx \:B = - \:B \vx \:A $$

ただし、計算途中で微分対象の表現に一工夫が必要になる。
良く見かける手法として、ナブラと作用対象を線または矢印で結ぶ記法がある。

#ceq
    $$ \phantom{=} \nabla \sx (\b F \vx \b G)  \vphantom{\Big[} $$
    $$ \phantom{=} \:\nabla \sx (\:F \vx \:G)  \vphantom{\Big[} $$
#ceq(e)
    $$
     = \,   \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-49mu }}\mspace{49mu }
     + \,\, \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \nabla \sx (\b F \vx \b G) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
     = \,   \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \:\nabla \sx (\:F \vx \:G) \mspace{-49mu }}\mspace{49mu }
     + \,\, \mspace{2mu   }\overbracket{\mspace{-5mu   } \:\nabla \sx (\:F \vx \:G) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
     \vphantom{\Big[}
    $$
#ceq
    微分対外積の分配則((微分対外積の分配則:$$ d(\b A \vx \b B) = (d\b A) \vx \b B + \b A \vx (d\b B) $$))
    微分対外積の分配則
#ceq
    $$
     =                                                   \b G \sx (\nabla \vx \b F)                               
     + \,   \mspace{39mu  }\overbracket{\mspace{-42mu  } \b F \sx (\b G \vx \nabla) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
     =                                                   \:G \sx (\:\nabla \vx \:F)                               
     + \,   \mspace{39mu  }\overbracket{\mspace{-42mu  } \:F \sx (\:G \vx \:\nabla) \mspace{-12mu }}\mspace{12mu }
     \vphantom{\Big[}
    $$
#ceq
    スカラ三重積の交換則((スカラ三重積の交換則:$$ \b A \sx (\b B \vx \b C) = \b B \sx (\b C \vx \b A) = \b B \sx (\b C \vx \b A) $$))
    スカラ三重積の交換則
#ceq
    $$
     = \b G \sx (\nabla \vx \b F)
     - \b F \sx (\nabla \vx \b G)
     = \:G \sx (\:\nabla \vx \:F)
     - \:F \sx (\:\nabla \vx \:G)
     \vphantom{\Big[}
    $$
#ceq
    外積の交代則((外積の交代則:$$ \b A \vx \b B = - \b B \vx \b A $$))
    外積の交代則
#ceq(end)

一方、分離形表記では次のように記述可能。遊離した$$ d $$は自由に動けるため、いつでも微分対象の左に置ける。
一方、猫式表記の分離形では次のように記述可能。遊離した$$ d $$は自由に動けるため、微分対象を$$ \ffd{1}{\:r} $$の左に置いても問題ない。
#ceq
    $$
      \phantom{=} \, \ffd{1}{d \b r} \sx d(\b F \vx \b G)
      \phantom{=} \, \ffd{1}{d \:r} \sx d(\:F \vx \:G)
    $$
#ceq(e)
    $$
     = \ffd{1}{d \b r} \sx (d \b F \vx \b G) + \ffd{1}{d \b r} \sx (\b F \vx d \b G)
    $$
    $$ = \ffd{1}{d \:r} \sx (d \:F \vx \:G) + \ffd{1}{d \:r} \sx (\:F \vx d \:G) $$
#ceq
    微分対外積の分配則
#ceq
    $$
     = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) + \b F \sx (d \b G \vx \ffd{1}{d \b r})
    $$
    $$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) + \:F \sx (d \:G \vx \ffd{1}{d \:r}) $$
#ceq
    スカラ三重積の交換則
#ceq
    $$
     = \b G \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b F) - \b F \sx (\ffd{1}{d \b r} \vx d \b G)
    $$
    $$ = \:G \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:F) - \:F \sx (\ffd{1}{d \:r} \vx d \:G) $$
#ceq
    外積の交代則
#ceq(end)

////////////////////////////////////////////////////////////////
** 外積の回転 [#s248aa39]

外積の勾配の公式:$$ \grad(\:F \vx \:G) = \:G \sx (\rot \:F) - \:F \sx (\rot \:G) $$





参考:[[ベクトル微分公式]]

%bodynote
////////////////////////////////////////////////////////////////

    数学 一覧 検索 最新 バックアップ リンク元   ヘルプ   最終更新のRSS